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heyinprc

金虫 (小有名气)

应助: 1 (幼儿园)
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[求助] 几个数学分析问题求助

1.设 $f(x)$ 在R上二阶连续可微， $|f(x)|\leq 1,|f(0)|+|f\prime(0)|^2=4$ ,求证： $\exists\xi\in R,S.T.\quad f(\xi)+f\prime\prime(\xi)=0$ .

2.设 $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}ne^{-n}\cos nx$ ，求证
（1） $\max\limits_{0\leq x\leq 2\pi}|f(x)|\geq\dfrac{2}{e}$ ;
（2） $f\prime(x)$ 存在且连续。
（3） $\max\limits_{0\leq x\leq 2\pi}|f\prime(x)|\geq\dfrac{2}{\pi e}$

3.若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\quad (a_n>0)$ 发散，证明：存在收敛于零的正项级数 ${b_n}$ ,使得级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ 发散。

参见下图：

que.gif

[ Last edited by feixiaolin on 2013-12-8 at 19:56 ]

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1楼 2013-12-08 12:00:16

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迷失的心

铜虫 (初入文坛)

应助: 3 (幼儿园)
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专业: 计算数学与科学工程计算

引用回帖:

3楼: Originally posted by laosam280 at 2013-12-09 11:01:23
第一题很有意思，我觉得题目中的第二个条件甚至都不是必须的。
只需要函数二阶连续可微，且绝对值小于1即可。
我的证明思路如下，考虑函数cos(x)，这个函数满足绝对值小于1，并且cos(x)+cos''(x)=0，
所以只需要 ...

我的见解如下：

1.png

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努力才能做到最好

6楼2013-12-11 22:04:00

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qy_fighting

铜虫 (初入文坛)

应助: 5 (幼儿园)
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专业: 代数学

【答案】应助回帖

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heyinprc(feixiaolin代发): 金币+10 2013-12-10 07:50:41
heyinprc: 金币+5, ★★★很有帮助, 1）与3）我确实是这样写的，不过1）我觉得自己这样写好像不太严谨。 2013-12-10 21:01:22

1）考虑g(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2
2) 结合一致收敛性，和Parseval定理
3）bn=1/Sn ,Sn=a1+a2+,...,+an 应该可以吧

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2楼2013-12-09 00:33:06

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