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heyinprc金虫 (小有名气)
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几个数学分析问题求助
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1.设 2.设 （1） （2） （3） 3.若级数 参见下图：  que.gif [ Last edited by feixiaolin on 2013-12-8 at 19:56 ] |
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qy_fighting
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heyinprc
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【答案】应助回帖
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heyinprc(feixiaolin代发): 金币+5 2013-12-11 20:28:29
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第二题： 利用 Sum_{n=1}^Infinity n* x^n = x/ (1-x)^2, 证明 f(0)= e/ (e-1)^2 > 2/e; f(Pi) = - e/ (e+1)^2. 进一步证明 存在0<x<Pi 使得 f’(x)= ( f(0)-f(Pi) ) /Pi = 2e/Pi * (e^2+1)/(e^2-1) > 2e/Pi. 第一题：我们假设命题不成立， 不妨设f(x) + f’’(x) >0. (否则可以考虑h(x)= -f(x), 它满足同样假设, 但是 h(x)+ h’’(x) >0 ). 不妨设 f’(0) >0, 否则可以考虑 f(-x). 考虑函数 g(x):= Integral_0^x [(x-t)*f(t)] dt + f(x)- f(0) -x * f’(0). 这个函数是特意设计满足 g(0)=g’(0)=0, g’’(x)= f(x) +f”(x). g’’(x) >0 指 g(x) 是凸函数， 在R上有唯一最小值 g(0)=0. 记f’(0)=a. 考虑 x=a, 那么 g(a)>0 以及 |f(x)| <=1 推出 Integral_0^ a (a -t)dt > f(0) -f(a) + a^2. 即 1/2*a^2 > f(0) -f(a) + a^2. 如果 f(0) >=0, , f(a) > f(0)/2 + ( f(0) + a^2)/2 >=2, 不可能的。 所以 f(0) <0. 这时，一个凸函数在上升段只能越升越快，我们断言存在f(d)=0 并且 d>0. 如果取d 使得f(x)在(0, d) 之间再无零点， 那么 f’(d) > f’(0)> sqrt(3) >d >0. 这时考虑 Integral_d^ x [(x-t)*f(t)] dt + f(x)- f(d) -x * f’(d). 并且取 x=f’(d), 那么应该有 f ( f’(d)) > 1/2 * f’(d)^2. 这是不可能的。 这勉强算是个七拼八凑的解答吧。 |
5楼2013-12-11 00:30:41
6楼2013-12-11 22:04:00
heyinprc
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7楼2013-12-11 22:11:07
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