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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请大师帮忙解决一个函数问题，谢谢！
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lilihurry

银虫 (小有名气)

[求助] 请大师帮忙解决一个函数问题，谢谢！

在三角形ABC中，若log2sinA-log2cosB+log2sinC=1,试判定此三角形形状，（注：log都是以2为底）
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1楼 2013-11-21 17:11:49
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
2sinA*2sinC/(2cosB)=2
sinA*sinC=cobB=-cos(pi-B)=-cos(A+C)=……
直角三角形
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2楼2013-11-21 18:31:43
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莲动波光浩月

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
求解结果如图：
请大师帮忙解决一个函数问题，谢谢！
三角形形状.jpg
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3楼2013-11-22 09:37:27
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lilihurry

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 莲动波光浩月 at 2013-11-22 09:37:27
求解结果如图：

三角形形状.jpg

sinA，sinC前面没有2倍，cosB前面也没有2倍，那个2是log的底
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4楼2013-11-22 12:23:34
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lilihurry

银虫 (小有名气)
题目是这样的：在三角形ABC中，若logsinA-logcosB+logsinC=1,试判定此三角形形状，（注：log都是以2为底）
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5楼2013-11-22 12:25:24
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lym346837576

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lilihurry: 金币+3, ★有帮助, 谢谢 2013-11-24 20:51:41
锐角三角形。
依题意得sinA*sinC=2cosB=-2cosAcosC+2sinAsinC
得到sinA*sinC=2cosAcosC  从而cosB=0.5*sinA*sinC
由sinA*sinC=2cosAcosC   可知A与C都是锐角
由cosB=0.5*sinA*sinC  可知 B 也是锐角
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6楼2013-11-23 11:47:18
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by lilihurry at 2013-11-22 12:25:24
题目是这样的：在三角形ABC中，若logsinA-logcosB+logsinC=1,试判定此三角形形状，（注：log都是以2为底）

原题 等价于 Sin(A) Sin(C)=2* Cos(B) = -2*Cos(A+C)
展开得到 =-2( Cos(A) Cos(C) - Sin(A) Sin(C) ).
因此再等价于 tan(A) tan(C) =2. 那么 容易得出：tan(B)=-tan(A+C)
= - (tan(A)+tan(C))/(1-tan(A)tan(C)) = tan(A) + tan(C)。
因此 tan(B) >= 2* Sqrt(2),  角度B在 70.53 度（含）和90 度（不含）之间。

通过求导等于0，可以证明
arctan(x) + arctan(2/x) +arctan(x+2/x) = Pi, 对于任意0<x<Infinity.
比如，当x=1时，三个角度分别是
45度，63.43度，71.57度。可我看不出什么规律。

楼主， 貌似此题需要非常深刻的洞察力。
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We_must_know. We_will_know.
7楼2013-11-23 11:56:02
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lilihurry: 金币+2, ★有帮助, 谢谢！ 2013-11-24 20:51:14
综合以上各回答:
tan(A) tan(C) =2 说明A和C都是锐角!6楼
由cosB=sinA*sinC/2  所以B 也是锐角!5楼
故为锐角三角形!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
8楼2013-11-23 12:38:57
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