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lilihurry

银虫 (小有名气)

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[求助] 请大师帮忙解决一个函数问题，谢谢！

在三角形ABC中，若log2sinA-log2cosB+log2sinC=1,试判定此三角形形状，（注：log都是以2为底）

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1楼 2013-11-21 17:11:49

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

5楼: Originally posted by lilihurry at 2013-11-22 12:25:24
题目是这样的：在三角形ABC中，若logsinA-logcosB+logsinC=1,试判定此三角形形状，（注：log都是以2为底）

原题等价于 Sin(A) Sin(C)=2* Cos(B) = -2*Cos(A+C)
展开得到 =-2( Cos(A) Cos(C) - Sin(A) Sin(C) ).
因此再等价于 tan(A) tan(C) =2. 那么容易得出：tan(B)=-tan(A+C)
= - (tan(A)+tan(C))/(1-tan(A)tan(C)) = tan(A) + tan(C)。
因此 tan(B) >= 2* Sqrt(2), 角度B在 70.53 度（含）和90 度（不含）之间。

通过求导等于0，可以证明
arctan(x) + arctan(2/x) +arctan(x+2/x) = Pi, 对于任意0<x<Infinity.
比如，当x=1时，三个角度分别是
45度，63.43度，71.57度。可我看不出什么规律。

楼主，貌似此题需要非常深刻的洞察力。