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小亮要学习

新虫 (初入文坛)

[求助] 伽罗华域问题

如图,请问第一张图的话怎样证明,另外书上有讲:模P乘法中,P必须为素数,否则不为群,假如P不为素数的话,那么怎么构成域呢?求高手解答
伽罗华域问题
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伽罗华域问题-1
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小亮要学习

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
5楼: Originally posted by starbridge at 2013-09-22 23:36:44
举一个例子你就明白了,例如2^3不是素数,为了构造有限域GF(2^3),首先将000-111之间的数字表示成多项式例如数字3(011)可以写成x+1,而数字6(110)写成x^2+x等等,选择一个素多项式(除了1和自身没有因式的多项式 ...

我发现自己忽略了一个东西:域的定义中只要求乘法是封闭的,但是没有要求是模几运算,而我之前一直以为是要模P运算的,所以现在也算是通了一点思路了,谢谢了
6楼2013-09-23 22:18:45
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starbridge

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

素数p的m次方(因为无法输入上标只有这么写)的有限域是定义在多项式上的,此处p指的是多项式系数的模,而多项式的最高阶为素数p的m次方,然后再定义一个既约多项式(就是除去自身和1没有因式的多项式),以这个既约多项式为模定义乘法运算,这样就可以构成一个有限域了。
3楼2013-09-18 23:11:51
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小亮要学习

新虫 (初入文坛)

引用回帖:
3楼: Originally posted by starbridge at 2013-09-18 23:11:51
素数p的m次方(因为无法输入上标只有这么写)的有限域是定义在多项式上的,此处p指的是多项式系数的模,而多项式的最高阶为素数p的m次方,然后再定义一个既约多项式(就是除去自身和1没有因式的多项式),以这个既约 ...

没看懂,我这样说吧,你看下无标题1那张图片,上面讲若P不是素数则集合G就不是一个在模P乘法下的群,而P的m次方肯定不是不是素数,所以那么集合G{1,2……P的m次方-1}就同样不是一个群,那么怎么构成域呢?
4楼2013-09-21 12:41:42
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starbridge

金虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by 小亮要学习 at 2013-09-21 12:41:42
没看懂,我这样说吧,你看下无标题1那张图片,上面讲若P不是素数则集合G就不是一个在模P乘法下的群,而P的m次方肯定不是不是素数,所以那么集合G{1,2……P的m次方-1}就同样不是一个群,那么怎么构成域呢?...

举一个例子你就明白了,例如2^3不是素数,为了构造有限域GF(2^3),首先将000-111之间的数字表示成多项式例如数字3(011)可以写成x+1,而数字6(110)写成x^2+x等等,选择一个素多项式(除了1和自身没有因式的多项式),如x^3+x+1,以此为模定义乘法运算,注意加法和乘法都是基于二进制的,这样3*4就是(x+1)*(x^2)mod(x^3+x+1),计算可以得到x^2+x+1,即111,其他的运算也可以按此方法进行,你可以看到这一运算构成一个群,至于p^m的情况跟此类似,只是多项式的系数为0到p-1之间。
5楼2013-09-22 23:36:44
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