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小亮要学习

新虫 (初入文坛)

[求助] 伽罗华域问题

如图，请问第一张图的话怎样证明，另外书上有讲：模P乘法中，P必须为素数，否则不为群，假如P不为素数的话，那么怎么构成域呢？求高手解答
伽罗华域问题
无标题.png


伽罗华域问题-1
无标题1.png
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1楼 2013-09-15 21:43:52
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小亮要学习

新虫 (初入文坛)
求大神解答！！
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2楼2013-09-16 12:03:45
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starbridge

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

素数p的m次方（因为无法输入上标只有这么写）的有限域是定义在多项式上的，此处p指的是多项式系数的模，而多项式的最高阶为素数p的m次方，然后再定义一个既约多项式（就是除去自身和1没有因式的多项式），以这个既约多项式为模定义乘法运算，这样就可以构成一个有限域了。
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3楼2013-09-18 23:11:51
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小亮要学习

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by starbridge at 2013-09-18 23:11:51
素数p的m次方（因为无法输入上标只有这么写）的有限域是定义在多项式上的，此处p指的是多项式系数的模，而多项式的最高阶为素数p的m次方，然后再定义一个既约多项式（就是除去自身和1没有因式的多项式），以这个既约 ...

没看懂，我这样说吧，你看下无标题1那张图片，上面讲若P不是素数则集合G就不是一个在模P乘法下的群，而P的m次方肯定不是不是素数，所以那么集合G{1,2……P的m次方-1}就同样不是一个群，那么怎么构成域呢？
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4楼2013-09-21 12:41:42
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starbridge

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 小亮要学习 at 2013-09-21 12:41:42
没看懂，我这样说吧，你看下无标题1那张图片，上面讲若P不是素数则集合G就不是一个在模P乘法下的群，而P的m次方肯定不是不是素数，所以那么集合G{1,2……P的m次方-1}就同样不是一个群，那么怎么构成域呢？...

举一个例子你就明白了，例如2^3不是素数，为了构造有限域GF(2^3)，首先将000-111之间的数字表示成多项式例如数字3（011）可以写成x+1,而数字6（110）写成x^2+x等等，选择一个素多项式（除了1和自身没有因式的多项式），如x^3+x+1,以此为模定义乘法运算，注意加法和乘法都是基于二进制的，这样3*4就是（x+1)*(x^2)mod(x^3+x+1),计算可以得到x^2+x+1,即111，其他的运算也可以按此方法进行，你可以看到这一运算构成一个群，至于p^m的情况跟此类似，只是多项式的系数为0到p-1之间。
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5楼2013-09-22 23:36:44
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小亮要学习

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by starbridge at 2013-09-22 23:36:44
举一个例子你就明白了，例如2^3不是素数，为了构造有限域GF(2^3)，首先将000-111之间的数字表示成多项式例如数字3（011）可以写成x+1,而数字6（110）写成x^2+x等等，选择一个素多项式（除了1和自身没有因式的多项式 ...

我发现自己忽略了一个东西：域的定义中只要求乘法是封闭的，但是没有要求是模几运算，而我之前一直以为是要模P运算的，所以现在也算是通了一点思路了，谢谢了
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6楼2013-09-23 22:18:45
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