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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 只有一个根的一元三次方程能不能用韦达定理来表示根与系数的关系？
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hijackrmb

铜虫 (小有名气)

[交流] 只有一个根的一元三次方程能不能用韦达定理来表示根与系数的关系？已有10人参与

对于一元三次方程中根与系数的关系可用韦达定理：X1·X2·X3=—d/a；
X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；X1+X2+X3=—b/a 来表示。但是在我的一个一元三次方程中只有一个跟，于是我就写成了这样：x3=—d/a, 3x2=c/a, 3x=—b/a.然后再根据已有方程求中的系数，求出来的根不一样呀，请问这种做法是错误的么？
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坚持、踏实、逻辑
1楼2013-07-09 16:52:07
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
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”于是我就写成了这样：x3=—d/a, 3x2=c/a, 3x=—b/a.“
你是想表达 x^3=—d/a, 3x^2=c/a, 3x=—b/a 吗?  如果是这样，你假定了3个根一样，这一般来说是不对的。代数学基本定理说3次方程有3个根，所以
(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=x^3+b/a x^2+c/a x+d/a=0, 从而得到 你的 韦达定理。但3个根不一样。
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2楼2013-07-09 21:35:14
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
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我觉得楼主没有表达清楚。一元三次方程应有三个根：或（1）三个不同的实根；或（2）一个实根两个共轭的虚根；再或（3）三个实重根。楼主的究竟是什么个情况？
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7楼2013-07-10 16:55:23
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普通回帖

Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
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有些一元三次方程表面看来只有一个实根，但其实还有两个虚根，不考虑到虚根当然就出问题了
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3楼2013-07-10 14:51:01
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hijackrmb

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2013-07-09 21:35:14
”于是我就写成了这样：x3=—d/a, 3x2=c/a, 3x=—b/a.“
你是想表达 x^3=—d/a, 3x^2=c/a, 3x=—b/a 吗?  如果是这样，你假定了3个根一样，这一般来说是不对的。代数学基本定理说3次方程有3个根，所以
(x-x1)*(x- ...

嗯，谢谢，就是你这意思，但是如果三个根一样的那么根与方程的系数有什么联系没有呢？
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坚持、踏实、逻辑
4楼2013-07-10 14:52:15
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)
★
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一般的高等代数书上有多项式一节的内容，里面有根与系数的关系式。凡是讲到多项式这一节的内容的，几乎都有……
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
5楼2013-07-10 15:19:09
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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引用回帖:
4楼: Originally posted by hijackrmb at 2013-07-10 14:52:15
嗯，谢谢，就是你这意思，但是如果三个根一样的那么根与方程的系数有什么联系没有呢？...

三个根一样(x1=x2=x3)当然就简单了，b/a=-3*x1, c/a=3*x1^2,d/a=-x1^3
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6楼2013-07-10 15:21:16
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carpenterone

铜虫 (小有名气)
2楼讲得很好。
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8楼2013-07-10 18:30:24
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chidonggua

银虫 (著名写手)
★
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你知道根了以后写成这样

（x-x1）(x-x2)(x-x3)=0
展开再验证系数吧
实际都不用验证，算系数的过程就是伟大定理
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9楼2013-07-10 19:52:24
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hijackrmb

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by peterflyer at 2013-07-10 16:55:23
我觉得楼主没有表达清楚。一元三次方程应有三个根：或（1）三个不同的实根；或（2）一个实根两个共轭的虚根；再或（3）三个实重根。楼主的究竟是什么个情况？

额，是三个实重根，我用一方程：L=68.11-0.82*x+0.0057*x^2-1.8869E-005*x^3，但是与x轴的相交处（也就是三重根）的值用韦达定理带进去检验，算出来的系数不是方程中的系数。
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坚持、踏实、逻辑
10楼2013-07-10 21:18:04
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