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关于外测度的一个证明问题
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这个是陶哲轩那本书上证明外测度不具有加性的一个构造反例，有很多地方不是很明白，希望有高手能够用朴素点的语言解释下，特别是我圈出来的那个地方，谢谢 2013-06-06 13.14.29.jpg |
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【答案】应助回帖
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showxjn: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-06-16 22:36:27
showxjn: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-06-16 22:36:27
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tao有本measure theory的书和实分析的书，我在后则中找到了这章，这是很后面的章节了。我讲下自己的看法。 这个证明，作者构造了一个集E，这是R中的一个集合。 如何构造的，采用了选择公理;为什么？选择公理的一个版本指出：非空集合的任意笛卡尔积是非空的，我们才能定义这个集合，见http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%AC%E7%90%86； 因此作者事先构造了一个积集R/Q，里面的元素就是陪集x+Q。其实每个陪集就是商空间R/Q的元素；是个等价类。 作者指出过陪集要么非交，如交则相等。这很重要 总结起来就是 作者先构造R/Q，之后使用选择公里在其“无穷”个元素（陪集）中构造了集合E，它在[0，1]中，最后又构造了一个商集，其元素是q+E，因此它非交，以此定义了集合X。所以我们可以讨论外测度的加性。 矛盾的地方在于，X受控于一个上限 [-1,2]与下限[0,1]，包含下限是由于这句话“但xA属于同一陪集”这是选择公理的结果；这样外测度有上界和非空下界；但是另一边只能成立0或则无穷大，因此矛盾； 至于更深入的讨论其本质问题，功力有限，爱莫能助 |
2楼2013-06-16 12:27:08