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renjh2011

新虫 (初入文坛)

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[求助] 关于常微分方程的一道题

设函数f在0到正的无穷大的开区间上可导，不恒为零，去具有性质f(xy)=f(x)f(y),试求此函数。

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1楼2012-09-21 11:25:56

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xuyx_78

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
renjh2011: 金币+1, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2012-09-23 11:03:25

先对等式两同时关于x求导得yf'(xy)=f'(x)f(y),取x=1代入整理得f'(y)/f(y)=f'(1)/y.记a=f'(1),并两端关于y积分得lnf(y)=alny+c,化简整理最后得f(y)=Cy^a.再由原式中取x=y=1可得f(1)=1,代入得C=1,故f(y)=y^a(其中a=f'(1)为一定值)是幂函数.

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2楼2012-09-21 14:51:58

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