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关于 Beta 函数的一个不等式
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| 对于b>1， m 为大于 1 的正整数， 则下面的不等式成立，为什么？ |
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2012-08-25 16:17:03, 8.76 K
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B(j+b+1,m)=Gamma(j+b+1)Gamma(m)/Gamma(j+b+m+1)=Gamma(m)/(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1) B(j+1,m)=Gamma(j+1)Gamma(m)/Gamma(j+m+1)=Gamma(m)/(j+m)(j+m-1)...(j+1) 1-B(j+b+1,m)/B(j+1,m)=[(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1)-(j+m)(j+m-1)...(j+1)]/(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1) ={(j+m)[(j+b+m-1)...(j+b+1)-(j+m-1)...(j+1)]+b(j+b+m-1)...(j+b+1)}(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1) ={(j+m)/(j+b+m)}{1-B(j+b+1,m-1)/B(j+1,m-1)}+b/(j+b+m). 当 m=1 时， 1-B(j+b+1,1)/B(j+1,1)=b/(j+b+1)<=(b+1)/(j+b+2) 假设 1-B(j+b+1,m-1)/B(j+1,m-1)<=(b+1)(m-1)/(j+b+m) 则 1-B(j+b+1,m)/B(j+1,m)<={(j+m)/(j+b+m)}{(b+1)(m-1)/(j+b+m)}+b/(j+b+m) <=[(b+1)(m-1)+b]/(j+b+m)<=[(b+1)(m-1)+b+1]/(j+b+m+1)=(b+1)m/(j+b+m+1). [ Last edited by xxxfield on 2012-8-27 at 10:09 ] |
3楼2012-08-27 10:06:58
