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08jmliu

新虫 (小有名气)

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[交流] 关于 Beta 函数的一个不等式

对于b>1， m 为大于 1 的正整数，则下面的不等式成立，为什么？

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2012-08-25 16:17:03, 8.76 K

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1楼 2012-08-25 16:17:28

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xxxfield

银虫 (小有名气)

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不等式成立。可利用不等式：当a>c>0时， c/a<(c+1)/(a+1)，以及B(x,y)=Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x+y)，Gamma(x+1)=x Gamma(x)等，用归纳法证明之。

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2楼2012-08-26 21:02:26

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xxxfield

银虫 (小有名气)

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08jmliu: 金币+10, 非常感谢！ 2012-08-27 19:13:41

B(j+b+1,m)=Gamma(j+b+1)Gamma(m)/Gamma(j+b+m+1)=Gamma(m)/(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1)
B(j+1,m)=Gamma(j+1)Gamma(m)/Gamma(j+m+1)=Gamma(m)/(j+m)(j+m-1)...(j+1)
1-B(j+b+1,m)/B(j+1,m)=[(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1)-(j+m)(j+m-1)...(j+1)]/(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1)
={(j+m)[(j+b+m-1)...(j+b+1)-(j+m-1)...(j+1)]+b(j+b+m-1)...(j+b+1)}(j+b+m)(j+b+m-1)...(j+b+1)
={(j+m)/(j+b+m)}{1-B(j+b+1,m-1)/B(j+1,m-1)}+b/(j+b+m).
当 m=1 时，
1-B(j+b+1,1)/B(j+1,1)=b/(j+b+1)<=(b+1)/(j+b+2)
假设
1-B(j+b+1,m-1)/B(j+1,m-1)<=(b+1)(m-1)/(j+b+m)
则
1-B(j+b+1,m)/B(j+1,m)<={(j+m)/(j+b+m)}{(b+1)(m-1)/(j+b+m)}+b/(j+b+m)
<=[(b+1)(m-1)+b]/(j+b+m)<=[(b+1)(m-1)+b+1]/(j+b+m+1)=(b+1)m/(j+b+m+1).

[ Last edited by xxxfield on 2012-8-27 at 10:09 ]

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3楼2012-08-27 10:06:58

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