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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】有两题函数题目不会解，请各路英雄帮忙一下。
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erictan2046

铜虫 (正式写手)

[求助] 【求助】有两题函数题目不会解，请各路英雄帮忙一下。

问题1：若一个多项式f(x)=x^2345+x^23+45被（x^3-x）除所得余式是r(x),
            求r(-22)=?


问题2：当多项式f(x)除以x^2+x+1及（x+1）^2时，其余式分别为x+5及x-1。求f(x)
           除以(x^2+x+1)(x+1)时的余式。

求详细解答步骤。谢～～～希望高手帮帮忙。
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1楼 2012-08-11 13:17:31
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
erictan2046: 金币+5, ★★★很有帮助 2012-08-11 21:08:35
问题1
设r(x) = ax^2+bx+c
则
f(x)=x^2345+x^23+45=x(x-1)(x+1)g(x)+r(x)
令x=0,1,-1代人上式，得到三个方程，解出a/b/c即可
f(0)=45=r(0)=c
f(1)=47=r(1)=a+b+c
f(-1)=43=r(-1)=a-b+c
由此得到r(x)的表达式。
问题2类似问题1，自己解吧
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2楼2012-08-11 19:22:10
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erictan2046

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by math2000 at 2012-08-11 19:22:10
问题1
设r(x) = ax^2+bx+c
则
f(x)=x^2345+x^23+45=x(x-1)(x+1)g(x)+r(x)
令x=0,1,-1代人上式，得到三个方程，解出a/b/c即可
f(0)=45=r(0)=c
f(1)=47=r(1)=a+b+c
f(-1)=43=r(-1)=a-b+c
由此得到r(x)的表达式 ...

3楼2012-08-11 21:09:45
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maqiaoyun

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
若一个多项式f(x)=x^2345+x^23+45被（x^3-x）除所得余式是r(x),
            求r(-22)=?
除了利用手工演算得到a,b.c外，也可直接使用数学软件，如mathemtica中输入PolynomialRemainder[x^2345 + x^23 + 45, x^3 - x, x]，即得余式2x+45,于是r(-22)=1
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4楼2012-08-14 08:48:23
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maqiaoyun

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
erictan2046: 金币+3, ★★★很有帮助 2012-08-14 13:39:00
问题2：当多项式f(x)除以x^2+x+1及（x+1）^2时，其余式分别为x+5及x-1。求f(x) 除以(x^2+x+1)(x+1)时的余式。
解：依题有f(x)=(x^2+x+1)q(x)+x+5
设q(x)=(x+1)p(x)+r,显然r=q(-1)=f(-1)-4，代入上式
f(x)=(x^2+x+1)[(x+1)p(x)+f(-1)-4]+x+5
再由f(x)=[(x+1)^2]g(x)+(x-1)知f(-1)=-2,化简上式得
f(x)=(x^2+x+1)[(x+1)p(x)-6]+x+5
     =(x^2+x+1)(x+1)p(x)-6x^2-6x-6+x+5
     =(x^2+x+1)(x+1)p(x)-6x^2-5x-1
所以，所求余式为-6x^2-5x-1
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5楼2012-08-14 09:18:45
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