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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 两道线性代数的证明题
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lingyuandage

木虫 (职业作家)

远

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
军版aerogel: 金币+70, ★★★很有帮助, 谢谢！ 2012-06-20 13:14:52
第二题用矩阵做最快
（a1 a2 a3 a4）=(a1 a2 a3 a4)(1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;2 5 8 1)=(a1 a2 a3 a4)
K
det(K)=1不为0所以K可逆
所以R（a1 a2 a3 a4）=R(b1 b2 b3 b4)=4
所以b1 b2 b3 b4线性无关
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TheincurablePisces.
11楼2012-06-20 11:31:01
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lingyuandage

木虫 (职业作家)

远

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
军版aerogel: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 非常感谢！ 2012-06-20 13:19:27
第9题(A+E)X=-A__-A^(-1)(A+E)X=E
由于A为可逆矩阵，所以X不存在

下一题三个特征值分别为1、2、3
那么det（A+E）=(1+1)(2+1)(3+1)=24

下一题Aa=（-x-3;y+7;1）=-a(比较第三分量)
所以特征值为-1

下一题秩为1，三行向量或三列向量均平行，x=0

下一题6-4=2

下一题det(a1 a2 a3)=(x-1)^2*(x-8)=0
x=1或x=8

至此，所有题目均已解答
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军版aerogel
TheincurablePisces.
12楼2012-06-20 12:08:28
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lingyuandage

木虫 (职业作家)

远

【答案】应助回帖

引用回帖:
12楼: Originally posted by lingyuandage at 2012-06-20 12:08:28
第9题(A+E)X=-A__-A^(-1)(A+E)X=E
由于A为可逆矩阵，所以X不存在

下一题三个特征值分别为1、2、3
那么det（A+E）=(1+1)(2+1)(3+1)=24

下一题Aa=（-x-3;y+7;1）=-a(比较第三分量)
所以特征值为-1

下一题 ...

第9题需注明A+E为不可逆矩阵（易知det（A+E）=0）
由-A^(-1)*(A+E)X=E易知X、(A+E)为可逆矩阵，矛盾
所以X不存在
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TheincurablePisces.
13楼2012-06-20 12:13:19
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lingyuandage

木虫 (职业作家)

远

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by lingyuandage at 2012-06-20 11:24:28
第1题，这是最简单的若当标准型
（1）易知a=1时r（A）=2，特征值为重根1，但是R（E-A）=1<2所以不能相似对角化所以由相似对角化可以得出a不为1
（2）若a不为1那么矩阵拥有2个不同的特征值1、a，必能相似对角化 ...

（1）的证明有误
R(E-A)=1>2-2=0 而非R(E-A)=1<2
对于2重根1，仅在R（E-A）=N-R(A)=0时矩阵可相似对角化
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14楼2012-06-20 12:17:40
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lingyuandage

木虫 (职业作家)

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引用回帖:
11楼: Originally posted by lingyuandage at 2012-06-20 11:31:01
第二题用矩阵做最快
（a1 a2 a3 a4）=(a1 a2 a3 a4)(1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;2 5 8 1)=(a1 a2 a3 a4)
K
det(K)=1不为0所以K可逆
所以R（a1 a2 a3 a4）=R(b1 b2 b3 b4)=4
所以b1 b2 b3 b4线性无关

（a1 a2 a3 a4）=(a1 a2 a3 a4)(1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;2 5 8 1)=(a1 a2 a3 a4) K

又见错误上式左端（a1 a2 a3 a4）本来应该为（b1 b2 b3 b4）
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TheincurablePisces.
15楼2012-06-20 13:18:32
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军版aerogel

银虫 (小有名气)
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引用回帖:
12楼: Originally posted by lingyuandage at 2012-06-20 12:08:28
第9题(A+E)X=-A__-A^(-1)(A+E)X=E
由于A为可逆矩阵，所以X不存在

下一题三个特征值分别为1、2、3
那么det（A+E）=(1+1)(2+1)(3+1)=24

下一题Aa=（-x-3;y+7;1）=-a(比较第三分量)
所以特征值为-1

下一题 ...

大神有时间看下再第11题吧
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16楼2012-06-20 13:48:05
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引用回帖:
16楼: Originally posted by 军版aerogel at 2012-06-20 13:48:05
大神有时间看下再第11题吧...

原本我以为7楼的11题是对的，结果……
第11题
显然a3=a1+a2
又有a4=5a1-2a2
在这里介绍一个求线性相关向量中系数表出的方法
若k1a1+k2a2+……+knan=0
则K=(k1 k2 ……kn)'为（a1 a2 ……an）K=O的非0解
其中“'”为转置符号
比如（a1 a2 a4）K=0有一组解为（5 -2 -1），则
5a1-2a2-a4=O--a4=5a1-2a2
（若K没有非零解说明线性相关）
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TheincurablePisces.
17楼2012-06-20 14:18:07
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引用回帖:
17楼: Originally posted by lingyuandage at 2012-06-20 14:18:07
原本我以为7楼的11题是对的，结果……
第11题
显然a3=a1+a2
又有a4=5a1-2a2
在这里介绍一个求线性相关向量中系数表出的方法
若k1a1+k2a2+……+knan=0
则K=(k1 k2 ……kn)'为（a1 a2 ……an）K=O的非0解
其中 ...

忘说了最大线性无关组为a1 a2(由于没有平行向量，任选两个向量均可)
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TheincurablePisces.
18楼2012-06-20 14:21:47
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军版aerogel

银虫 (小有名气)
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引用回帖:
17楼: Originally posted by lingyuandage at 2012-06-20 14:18:07
原本我以为7楼的11题是对的，结果……
第11题
显然a3=a1+a2
又有a4=5a1-2a2
在这里介绍一个求线性相关向量中系数表出的方法
若k1a1+k2a2+……+knan=0
则K=(k1 k2 ……kn)'为（a1 a2 ……an）K=O的非0解
其中 ...

THX
19楼2012-06-20 14:22:46
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lingyuandage

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引用回帖:
7楼: Originally posted by bluesine at 2012-06-19 23:32:40
1.

A(a1,a2)=*(a1,a2)
从而A的特征值lambda1=0,lambda2=1

2, 显然a3=a1+a2,a1,a2,a4线性无关，从而最大无关组a1,a2,a4.
a4不能由a1,a2,a3线性表示...

第二题您看错了 呵呵
显然a3=a1+a2
又有a4=5a1-2a2
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TheincurablePisces.
20楼2012-06-20 14:23:48
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