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东方天遥

至尊木虫 (著名写手)

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[求助] 求解Sean Carroll 引力波问题！！！

我认为此题的思路就是计算一阶近似下，光子的运动方程。光子坐标

$x^\mu=x^\mu_0+x^\mu_1$

其中， $x^\mu_0$ 为零阶阶，就是平直时空下，光子作直线运动的那个解; $x^\mu_1$ 是一阶解。要求的就是 $x^0_1$ ，或者写成 $t_1$ 。

已经算出来了一阶近似下的Christoffel Symbols

$\Gamma^t_{xx}=\Gamma^x_{xt}=\Gamma^y_{yz}=\Gamma^z_{xx}=-\frac{1}{2}\omega A\sin[\omega(t-z)]$

$\Gamma^t_{yy}=\Gamma^y_{yt}=\Gamma^x_{xz}=\Gamma^z_{yy}=-\Gamma^t_{xx}$

这样就可以写出测地线方程了。太多了，就不写了。

有两个有用的条件。 $0=g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}$ , $\lambda$ 是仿射系数。该式零阶形式为
$-(k^0)^2+\vec k\cdot\vec k=0$

其中， $k^\mu=\frac{dx^\mu_0}{d\lambda}$ 。一阶形式为：

$-k^0l^0+\vec l\cdot\vec k=-\frac{1}{2}[(k^1)^2-(k^2)^2]A\cos[\omega(t-z)]$

其中， $l^\mu=\frac{dx^\mu_1}{d\lambda}$ .

利用上述条件，加上测地线方程，最后得到

$\frac{dl^0}{d\lambda}=-\omega\tan[\omega(k^0-k^3)\lambda][l^0(k^3-k^0)+l^1k^1+l^2k^2]$

两次积分之后可以得到如下的结果

$\Delta l^0=\frac{A}{2\omega}\frac{(k^1)^2-(k^2)^2}{(k^0-k^3)^2}\Big\{\ln\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}-\sin\theta\Big\}$

且， $\theta=\omega(k^0-k^3)\Lambda$

这下问题就出来了， $\Delta l^0$ 的最大值为无穷大，这是不可能的。

请问，我的思路错在那里？谢谢！

[ Last edited by 东方天遥 on 2012-4-24 at 06:52 ]

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天行健，君子以自强不息

1楼 2012-04-24 05:30:42

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cosmology

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终于换一本新的广义相对论教材了！
能够自己找到错误原因，有进步！
新的计算，粗略看了一下，似乎没问题，如果有时间的话，好好研究一下你的这个引力波问题，虽然不去research广义相对论已经很多年了！！

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东方天遥

4楼2012-04-26 14:55:50

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东方天遥

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尚未解決，還要頂起！！！！

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天行健，君子以自强不息

2楼2012-04-25 20:51:20

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我的新解法，请检查下有没有问题。。。

多谢！

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天行健，君子以自强不息

3楼2012-04-26 11:31:21

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引用回帖:

4楼: Originally posted by cosmology at 2012-04-26 00:55:50:
终于换一本新的广义相对论教材了！
能够自己找到错误原因，有进步！
新的计算，粗略看了一下，似乎没问题，如果有时间的话，好好研究一下你的这个引力波问题，虽然不去research广义相对论已经很多年了！！

切望早早研究下我的算法，若是沒錯誤的話，還要考慮如何求得零點和最大值。

現在我已經找到最大值，但是零點難找。如果只考慮 $\cos\theta=0$ 的情況，非常容易找到零點。但是，在其他情況下，非常?鸵S。。。請看下貼

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天行健，君子以自强不息

5楼2012-04-26 20:44:08

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