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急~关于波函数对称性的问题求助
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假设了一个粒子处于ψa ，另一个粒子处于ψb，定义交换算符：P Pf (r1 ,r2) = f (r2 ,r1) 这P的本征值为± 1， 那么，如果两个粒子是全同的，则哈密顿算符对它们也是可交换的，这样，P 和H 是相互对易的可观测量， [P,H] = 0 因此，我们可以找到一套完备的函数，它们同时是P 和H 的本征态。可以找到薛定谔方程的解，它们或者是交换对称的（本征值为+1）或者是交换反对称的（本征值为-1）： ψ (r1 ,r2) = ±ψ (r2 ,r1 ). 以上为书上的内容，这里有两点疑问。 1.怎么看出哈密顿算符和交换算符是对易的，仅仅是因为H的交换对称吗？别说波函数使他们共同的本征矢，那是得到他们对易后的结论。、 2.[P,H] ψ (r1 ,r2)=0 PH ψ (r1 ,r2)-HP ψ (r1 ,r2)=(PH) ψ (r1 ,r2)-Hψ (r2 ,r1)=0 PH=H 得到 ψ (r1 ,r2)=ψ (r2 ,r1) 只能得到对称的，得不到反对称的，哪里错了？ |
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个人感觉，不知对否 1. (1) 对非相对论下的量子多体系统而言，可以从H的具体形式可以看到H的交换对称性。（2）在普遍的情况下，P算符把Hilbert空间分出2个子空间，一为对称的空间，另一为反对称的（其它的还有混合对称），这两个子空间是不变子空间，在时间演化算符下不变, 所以P H P^-1和H相等。事实上 P应该和任意一个物理可观测量的算符对易（或者说任何物理可观测量在交换下不变）。 （2） 第二个等号感觉不对 应该是P(H\psi) 而不是 （PH）\psi 就象 d/dx x \psi(x) != \psi(x)。 事实上 在交换这一操作下，波函数的变换是 P \psi(x) 但是哈密顿量的变换 是 p H p^-1 这里小p和大P不是同一个算符 只是都对应着"交换"这一变换 或者说是同一变换的不同表示。 |
8楼2012-03-30 19:01:22
yuankanxue
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