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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 急~关于波函数对称性的问题求助
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Fredette

新虫 (初入文坛)

[求助] 急~关于波函数对称性的问题求助

假设了一个粒子处于ψa ，另一个粒子处于ψb，定义交换算符：P
  Pf (r1 ,r2) = f (r2 ,r1)  这P的本征值为± 1， 那么，如果两个粒子是全同的，则哈密顿算符对它们也是可交换的，这样，P 和H 是相互对易的可观测量，
[P,H] = 0    因此，我们可以找到一套完备的函数，它们同时是P 和H 的本征态。可以找到薛定谔方程的解，它们或者是交换对称的（本征值为+1）或者是交换反对称的（本征值为-1）：
ψ (r1 ,r2) = ±ψ (r2 ,r1 ).
以上为书上的内容，这里有两点疑问。
1.怎么看出哈密顿算符和交换算符是对易的，仅仅是因为H的交换对称吗？别说波函数使他们共同的本征矢，那是得到他们对易后的结论。、
2.[P,H]  ψ (r1 ,r2)=0
PH ψ (r1 ,r2)-HP ψ (r1 ,r2)=(PH) ψ (r1 ,r2)-Hψ (r2 ,r1)=0
PH=H
得到 ψ (r1 ,r2)=ψ (r2 ,r1)  只能得到对称的，得不到反对称的，哪里错了？
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1楼 2012-03-29 15:02:02
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yuankanxue

金虫 (著名写手)

分子玩家

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
1.“如果两个粒子是全同的，则哈密顿算符对它们也是可交换的，这样，P 和H 是相互对易的可观测量”
2. 在“PH ψ (r1 ,r2)”中你没有对H表达式中的r1和r2作交换。
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有志者事竟成，梦想给我方向，方法是效率，努力是捷径，失败是老师。
2楼2012-03-29 19:51:07
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yuankanxue

金虫 (著名写手)

分子玩家

【答案】应助回帖

你没有理解“如果两个粒子是全同的，则哈密顿算符对它们也是可交换的”的意思！
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有志者事竟成，梦想给我方向，方法是效率，努力是捷径，失败是老师。
3楼2012-03-29 19:52:51
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Fredette

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by yuankanxue at 2012-03-29 19:51:07:
1.“如果两个粒子是全同的，则哈密顿算符对它们也是可交换的，这样，P 和H 是相互对易的可观测量”
2. 在“PH ψ (r1 ,r2)”中你没有对H表达式中的r1和r2作交换。

H(r1 ,r2）=H (r2 ,r1）交换过后一个样啊？有人说波函数的对称性要求不是由于[P,H] = 0 所加之的
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4楼2012-03-30 08:40:32
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yuankanxue

金虫 (著名写手)

分子玩家
引用回帖:
4楼: Originally posted by Fredette at 2012-03-30 08:40:32:
H(r1 ,r2）=H (r2 ,r1）交换过后一个样啊？有人说波函数的对称性要求不是由于 = 0 所加之的

交换后当然不一样了，要不然怎么会有两个本征值呢？交换后会产生一个常系数，但是对于波函数是没有影响的，所以是符合条件的。经过两次交换后，就得到原波函数和该系数的平方，于是就得到了本征值1和-1.
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5楼2012-03-30 10:37:04
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Fredette

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by yuankanxue at 2012-03-30 10:37:04:
交换后当然不一样了，要不然怎么会有两个本征值呢？交换后会产生一个常系数，但是对于波函数是没有影响的，所以是符合条件的。经过两次交换后，就得到原波函数和该系数的平方，于是就得到了本征值1和-1.

是吗？对于全同粒子m1=m2，V（r1，r2）=V（r2，r1）哈密顿是交换对称的，对于波函数交换后才会产生
ψ (r1 ,r2)=C ψ (r2 ,r1)，C=1或-1  不过谢谢你的回答
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6楼2012-03-30 18:13:40
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yuankanxue

金虫 (著名写手)

分子玩家

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by Fredette at 2012-03-30 18:13:40:
是吗？对于全同粒子m1=m2，V（r1，r2）=V（r2，r1）哈密顿是交换对称的，对于波函数交换后才会产生
ψ (r1 ,r2)=C ψ (r2 ,r1)，C=1或-1  不过谢谢你的回答


嗯，没错，因为具有交换对称性，所以波函数仍描述同一量子态。
公式打印不便，详细请看曾谨言的著作，如《量子力学教程》第89面。
同学，量子力学理论性很强，不好学，要仔细看，多看。
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有志者事竟成，梦想给我方向，方法是效率，努力是捷径，失败是老师。
7楼2012-03-30 18:33:07
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walk1997

金虫 (著名写手)
个人感觉，不知对否
1. (1) 对非相对论下的量子多体系统而言，可以从H的具体形式可以看到H的交换对称性。（2）在普遍的情况下，P算符把Hilbert空间分出2个子空间，一为对称的空间，另一为反对称的（其它的还有混合对称），这两个子空间是不变子空间，在时间演化算符下不变, 所以P H  P^-1和H相等。事实上 P应该和任意一个物理可观测量的算符对易（或者说任何物理可观测量在交换下不变）。

（2） 第二个等号感觉不对 应该是P(H\psi) 而不是 （PH）\psi 就象
d/dx x \psi(x) != \psi(x)。  事实上 在交换这一操作下，波函数的变换是
P \psi(x) 但是哈密顿量的变换 是 p H p^-1 这里小p和大P不是同一个算符
只是都对应着"交换"这一变换 或者说是同一变换的不同表示。
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8楼2012-03-30 19:01:22
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Fredette

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by walk1997 at 2012-03-30 19:01:22:
个人感觉，不知对否
1. (1) 对非相对论下的量子多体系统而言，可以从H的具体形式可以看到H的交换对称性。（2）在普遍的情况下，P算符把Hilbert空间分出2个子空间，一为对称的空间，另一为反对称的（其它的还有混 ...

第二点基本同意，的确是P（H ψ (r1 ,r2)），不满足结合律，但是应该存在大P小P之分，只需要对括号里面所有的对象都交换坐标。
我第二点想得到波函数交换对称性的出发点好像就错了，如果得到P和H对易的话，直接用P作用于薛定谔方程两端就可以了
PH (r1 ,r2) ψ (r1 ,r2)-H (r1 ,r2)P ψ (r1 ,r2)
=H (r2 ,r1) ψ (r2 ,r1）-H (r1 ,r2) ψ (r2 ,r1)
=0
[P,H]=0 反倒可以证明PH对易
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9楼2012-04-01 20:40:45
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walk1997

金虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by Fredette at 2012-04-01 20:40:45:
第二点基本同意，的确是P（H ψ (r1 ,r2)），不满足结合律，但是应该存在大P小P之分，只需要对括号里面所有的对象都交换坐标。
我第二点想得到波函数交换对称性的出发点好像就错了，如果得到P和H对易的话，直接 ...

交换的不仅仅是 r1和r2，是 1和2
波函数(态)只能是反对称的或者对称的 比P和H是对易的这一条件要强。
前者意味着（源于）P和所有可观测量算符对易，
后者保证这样的物理态（全对称或全反对称性）在时间演化中不会跑到其它子空间去。。。。。。
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10楼2012-04-01 21:12:02
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