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东方天遥

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[求助] 戈德斯坦课后习题，求解疑

戈德斯坦《经典力学》第三版第7章第9题，是说有一个相对论协变的势能

$U=-A_{\lambda\nu}(x_\mu)u^\lambda u^\nu$

要求写出拉氏方程组，并指出哪个是闵氏力，就是4-力。然后，还要写出4-力在某洛伦兹坐标系下的分量。

我算了一下，拉氏方程组为

$m\frac{d u_\nu}{d \tau}+2A_{\lambda\nu}\frac{d u^\lambda}{d \tau}+2\frac{\partial A_{\lambda\nu}}{\partial x^\rho}u^\lambda u^\rho-\frac{\partial A_{\lambda\rho}}{\partial x^\nu}u^\lambda u^\rho =0$

问题就出来了。

上式第一项就就是质量和4-加速的乘积。应该是所谓的4-力。但是，第二项同时也包含着4-加速。而力应该不能写成加速度的函数的。

当然，我们可以这么改写第二项， $2A_{\lambda\nu}\frac{d u^\lambda}{d \tau}=2\frac{A_{\lambda\nu}}{m}(m\frac{d u^\lambda}{d \tau})$ . 从中解出力就行了。可是，又该怎么解呢？

[ Last edited by 华丽的飘过 on 2013-1-13 at 08:12 ]

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racoon01

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引用回帖:

27楼: Originally posted by cosmology at 2012-02-04 16:46:32:
该问题只需写出四维力（或闵氏力）的表述形式
是不需讨论它是否是矢量
引力不是矢量
上面关于本人的协变性论证不是严格的

四维力K^\mu当然是4-矢量，且必定与引力无关。按照现代物理学的观点(至少我看过的科普书无一例外都是这一观点)，不包含引力的相对论理论就是狭义相对论，其中的闵氏力描写某个规范相互作用。闵氏力形成一个Lorentz 4-矢量是力学方程惯性系选择无关性的要求。至于广义相对论，引力在其中根本就不是力(引力效应表现为时空本身的曲率)，闵氏力自然与之无关。

楼主原问题中的闵氏力自然与引力无关。你把原题中的有效势因子A_{\mu\nu}与时空的度规张量联系起来是令人疑惑的，并没有道理。

至于对你给出的K_\mu的广义协变性论证确有错误，容我另贴修正。