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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 初一的奥数题咋都这么难了啊
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jesseliuxl

金虫 (小有名气)

[求助] 初一的奥数题咋都这么难了啊

遇到一个初一的奥数题，搞了半天没搞出来，请高人帮忙，谢谢
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生命不息折腾不止
1楼2012-01-29 19:55:40
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dxwbucea

铁虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(金币+2): 呵呵，初一的学生很少会编程的吧~谢谢你给出答案 2012-01-29 23:16:38
jesseliuxl(金币+2): 2012-01-30 10:20:00
正确答案是：81/110
编程计算的过程是：
j = 9;
a = Table[i*(i + 1), {i, 1, j}];
b = Table[Sum[Part[a, j], {j, 1, i}], {i, 1, 9}];
Sum[1/Part[b, i], {i, 1, 9}]
结果是81/110
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2楼2012-01-29 21:25:24
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orange9634

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
jesseliuxl(金币+5): ★★★★★最佳答案 2012-01-30 10:19:41
1.   首先，这类题目通常的思路便是将分母变成连续数的乘积，以便拆项：
分母的通项公式是 D_n = Sum_{i=1}^{n} [i*(i+1)] = Sum_{i=1}^{n} [ i ] + Sum_{i=1}^{n} [ i^2 ]
那么，右侧这两个求和，分别是 高斯公式 与 平方和公式， 常识哦，分别为
[n*(1+n)]/2  和  [n*(n+1)*(2n+1)]/6
从而， D_n=[n*(n+1)*(n+2)]/3

2.  接下来 拆项，记通项为A_n, 则有A_n = 1/D_n = 3/2 *[1/n - 2/(n+1) + 1/(n+2)]= 3/2 *[1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))]
注意这个拆项后的系数，是通过将1/n、1/(n+1) 和1/(n+2)的系数分别假设为未知数，然后求解线性方程组来确定的。这个实在简单，不再赘述。

3.  最后求和呗， S_m=Sum_{n=1}^{m}[ A_n ] = 3/2 * Sum_{n=1}^{m}[1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))]
很明显咯，  S_m= 3/2 * [1/2-1/((m+1)*(m+2)) ]
令， m=9,   S_9=81/110
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新年新气象
3楼2012-01-30 00:45:25
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orange9634

木虫 (正式写手)
呵呵，如果不是初中，要你求的估计就是极限  3/4 了
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新年新气象
4楼2012-01-30 00:55:11
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flora_5

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以设数列a(n)=n*n+n,则对数列a(n)求和，记作s(n).求和就是n*n和n分别求和，得n(n+1)(2n+1)/6和(n+1)n/2。相加得s(n)=n(n+1)(n+2)/3，本题通项则是倒数，3/(n(n+1)(n+2))，记为数列p(n),对此式进行分解p
(n)=3/2*(1/n/(n+1)-1/(n+1)(n+2,对p(n)求和即为原题所求。由于累加即可抵消相邻项，故和式=1.5*(1/2-1/(n+1)/(n+2))。n取9即得。


关于n*n的求和公式，可以用（n+1）^3展开式进行计算，                (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
等式两边同时从n=1 to n=n 求和
等式左边是sigema[(n+1)^3]
等式右边是sigema[n^3+3n^2+3n+1]=sigema[n^3]+3*sigema[n^2]+3(n+1)n/2+n
其中等式两边sigema[n^3]抵消了，即可得sigema[n^2]的公式。
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5楼2012-01-30 21:34:45
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why926565

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
把主要过程写了出来，请参考！
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6楼2012-05-02 15:40:22
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why926565

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
jesseliuxl: 金币+1 2012-05-03 08:27:21
请参考一下此解题过程，请指教！
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7楼2012-05-02 16:55:03
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why926565

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

请看一下吧，上传几次都不成功。
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8楼2012-05-02 19:25:35
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why926565

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
jesseliuxl: 金币+2, ★★★很有帮助 2012-05-03 08:27:02
用VB编程如下：
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9楼2012-05-02 20:25:47
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