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jesseliuxl金虫 (小有名气)
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[求助]
初一的奥数题咋都这么难了啊
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遇到一个初一的奥数题，搞了半天没搞出来，请高人帮忙，谢谢 |
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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可以设数列a(n)=n*n+n,则对数列a(n)求和，记作s(n).求和就是n*n和n分别求和，得n(n+1)(2n+1)/6和(n+1)n/2。相加得s(n)=n(n+1)(n+2)/3，本题通项则是倒数，3/(n(n+1)(n+2))，记为数列p(n),对此式进行分解p (n)=3/2*(1/n/(n+1)-1/(n+1)(n+2,对p(n)求和即为原题所求。由于累加即可抵消相邻项，故和式=1.5*(1/2-1/(n+1)/(n+2))。n取9即得。 关于n*n的求和公式，可以用（n+1）^3展开式进行计算， (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 等式两边同时从n=1 to n=n 求和 等式左边是sigema[(n+1)^3] 等式右边是sigema[n^3+3n^2+3n+1]=sigema[n^3]+3*sigema[n^2]+3(n+1)n/2+n 其中等式两边sigema[n^3]抵消了，即可得sigema[n^2]的公式。 |
5楼2012-01-30 21:34:45
dxwbucea
铁虫 (著名写手)
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2楼2012-01-29 21:25:24
orange9634
木虫 (正式写手)
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
jesseliuxl(金币+5): ★★★★★最佳答案 2012-01-30 10:19:41
jesseliuxl(金币+5): ★★★★★最佳答案 2012-01-30 10:19:41
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1. 首先，这类题目通常的思路便是将分母变成连续数的乘积，以便拆项： 分母的通项公式是 D_n = Sum_{i=1}^{n} [i*(i+1)] = Sum_{i=1}^{n} [ i ] + Sum_{i=1}^{n} [ i^2 ] 那么，右侧这两个求和，分别是 高斯公式 与 平方和公式， 常识哦，分别为 [n*(1+n)]/2 和 [n*(n+1)*(2n+1)]/6 从而， D_n=[n*(n+1)*(n+2)]/3 2. 接下来 拆项，记通项为A_n, 则有A_n = 1/D_n = 3/2 *[1/n - 2/(n+1) + 1/(n+2)]= 3/2 *[1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))] 注意这个拆项后的系数，是通过将1/n、1/(n+1) 和1/(n+2)的系数分别假设为未知数，然后求解线性方程组来确定的。这个实在简单，不再赘述。 3. 最后求和呗， S_m=Sum_{n=1}^{m}[ A_n ] = 3/2 * Sum_{n=1}^{m}[1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))] 很明显咯， S_m= 3/2 * [1/2-1/((m+1)*(m+2)) ] 令， m=9, S_9=81/110 |
3楼2012-01-30 00:45:25
orange9634
木虫 (正式写手)
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4楼2012-01-30 00:55:11