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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道线代题目求助（急）
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jhghj546

新虫 (初入文坛)

[求助] 一道线代题目求助（急）

一道线代的题目，没有接触过，所以基本没有思路。

麻烦给位大神指点。

谢谢，[ Last edited by jhghj546 on 2012-1-10 at 23:04 ]
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    • 2012-01-10 23:04:35, 22.42 K

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1楼 2012-01-10 23:03:04
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fenglh

木虫 (正式写手)
是没有见过，主要是那两个矩阵还不是对称的
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2楼2012-01-11 07:15:51
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
疑惑：f(x)是复值多元函数，复值函数怎么有最大值？
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3楼2012-01-11 10:14:38
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xxxfield

银虫 (小有名气)
★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-13 20:06:20
怀疑矩阵A,B都是Hermite阵，否则f(x)都不一定是实数，一般无法求最大值。而且除非分母是正（负）定的，分母就有零点，此时一般说来最大值是无穷大。正定时是否可以考虑分母标准化，感觉上应该在x取实值时达到最大，好像可以用求导找极值点，但只是感觉，没有试过是否可行。
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4楼2012-01-11 11:45:21
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yimeng123456

铁虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-13 20:06:14
可不可以求范数，范数的定义是求最大值
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5楼2012-01-11 14:40:13
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-13 20:06:05
首先有两个问题需要明确
1，对于x*Ax用A1=(A+A')/2,即可转化成对称阵，两者相等，因此只AB均为对称阵的情况。
2，f只有为实数才有最大值。
具体解法如下：
1）当Rank(A)=0;一定存在x，使Ax=0；
此时，f为无穷大。因此不存在最大值。
2）Rank(A)不等于0;
f=x*Bx/x*Ax,等价于Bx=fAx,且x*Ax不等于0;
右式又可转化为C=inv(A)*B的特征值问题，
因此f的最大值是C的最大特征值
如果C存在复特征值，则没有最大值，
否则最大值就是inv(A)*B的最大特征值。

另外，式中f叫Rayleigh商
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6楼2012-01-13 13:18:41
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xxxfield

银虫 (小有名气)
楼上，有两个问题，Rank(A)不等于0也不能得到分母没有零点，另外为什么f=x*Bx/x*Ax等价于Bx=fAx？后一个式子是什么含义？把f当做常数（f应该是一个二次型）？
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7楼2012-01-16 22:16:50
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cars

金虫 (小有名气)
应楼上要求，解释一下：
1）f=x*Bx/x*Ax,等价于Bx=fAx,且x*Ax不等于0;
的意思是命题1："f=x*Bx/x*Ax“与命题2"Bx=fAx,且x*Ax不等于0;“等价。
也即如果要求f的最大值，则f不能是无穷大，因此x*Ax不等于0；
同时，如果x*Ax不等于0，且Bx=fAx，也可得到命题1。
2）f(x)是一个函数，其自变量是向量x，因变量是一个复数，对于任意指定x，其f(x)就是一个复数。
欢迎交流
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8楼2012-01-17 09:16:12
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xxxfield

银虫 (小有名气)
可是，我不明白为何"f=x*Bx/x*Ax“与"Bx=fAx,且x*Ax不等于0“等价？而且即使两者等价，按你的解释Bx=fAx可以写为Bx=f(x)Ax，或 f(x)x=inv(A)*Bx，你的意思是 C=inv(A)*B 的最大特征值就是 f 的最大值？这个我也不明白。感觉上都不对。
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9楼2012-01-18 14:54:12
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xxxfield

银虫 (小有名气)
我想举反例，可是举不出来，可能你是对的。可以我真不明白为什么这是对的。
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10楼2012-01-18 15:07:36
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