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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

补充
先证一个引理
A、B为对称阵则 x*ABx=x*BAx.
[因(AB)'=BA,x*(AB')x=x*(AB)x=x*BAx,x*(AB-BA)x=0 ,注AB不一定对称]
先证必要:
若f=x*Bx/x*Ax
则fAx=Axf=Axx*Bx/x*Ax=(xx*)ABx/x*Ax=(xx*)BAx/x*Ax=B(xx*)Ax/x*Ax=Bx。
再证充分
若fAx=Bx
则Axf=Bx
x*Axf=x*Bx
f=x*Bx/x*Ax
11楼2012-01-18 18:20:16
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fen1989

银虫 (初入文坛)

深了,,
12楼2012-01-18 22:44:40
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金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

证明有问题,结论没问题.
结论:inv(a)*b的最大特征值是f的最大值

inv(a)*bx=fx可以推出f=x*bx/x*ax.
反过来不成立,
因此inv(a)*b的特征值和对应的特征向量一定满足f=x*bx/x*ax。
设c=inv(a)*b,[ni,vi](i=1:rank(b))是c的特征值和特征向量.
(并要求vi*avj=0(i~=j),这需证明,且用Ai表示vi*avi,则vi*bvj也等于0,用Bi表示vi*bvi,有Bi/Ai=ni)。
对于任意x存在y,使x=vy ,v=[v1...vi] y是i行向量
f=y*v*avy/y*v*bvy=(b1y1y1+b2y2y2+...biyiyi)/(a1y1y1+a2y1y1+...aiyiyi)<=max(bi/ai)=max(ni)。
13楼2012-01-19 09:05:19
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