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stone250

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1楼 2011-12-04 18:42:56

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cuishao_小

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★
小雨萌萌(金币+1): 3Q 2011-12-13 15:19:46

思路可能是这样的
先证明有限区间(有限测度)例如[-a, a]上结论成立, 而在其余区间上测度值收敛到零(a无限大), 函数值有界, 故而积分值收敛到零.

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2楼2011-12-04 21:07:31

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cuishao_小

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★
stone250: 回帖置顶 2011-12-05 17:08:34
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-12-06 11:46:20

额, 许多东西都忘掉了.
突然想到回复的可能有点问题, 是不是紧的X的测度是有限的? 这样的话只要说明第一部分就行. 这个用下fatou引理.( M是可积的).应该就行了.

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3楼2011-12-04 21:30:36

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stone250

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4楼2011-12-05 17:11:35

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★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-12-06 11:46:40

必要性用控制收敛定理，充分性好像的不出来，我给你举个反例X=【-1，+1】  f_n(x)=-M/2(x<-1/n)
                  +M/2(x>1/n)
                  直线连接
则积分永远为零，但是不收敛到零。

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5楼2011-12-05 19:30:19

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cuishao_小

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★
小雨萌萌(金币+1): 3Q 2011-12-13 15:20:00

反过来, 楼上的例子虽然不对(因为不连续, 但可以修正成直线即可), 但结论应是对的.

如果, 在原题中加上X的任意子集就对了. 用下反证法就可以证明了.

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6楼2011-12-05 20:36:07

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xxxfield

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★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-12-06 11:46:52
stone250: 回帖置顶 2011-12-06 12:50:29
stone250(金币+1): 是对任意的Borel测度 2011-12-06 12:51:27

如果假定Borel测度是给定的，4楼的反例是正确的。5楼：即使在X的任意可测子集上积分都收敛到0，也不能推出函数列收敛到0。反例：当x在[1/n,1]内时fn(x)=0，当x在[0,1/n]时fn(0)=1,fn(1/n)=0,中间线性。可能是要求对任意Borel测度积分都收敛到0。

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7楼2011-12-06 11:14:48

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lovibond: 如果是对特定的某一回帖进行回复，请点击引用回复 2011-12-11 12:44:12

“对任意Borel测度积分都收敛到0”怎么证明啊？

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8楼2011-12-11 10:52:18

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可以在前面的极限上加个以测度收敛到零. 否则孤立点是不好办. 孤立点的积分恒为零.

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9楼2011-12-14 08:07:04

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引用回帖:

楼: Originally posted by cuishao_小 at 2011-12-14 08:07:04:
可以在前面的极限上加个以测度收敛到零. 否则孤立点是不好办. 孤立点的积分恒为零.

会不会是选择一个特殊的Bore测度？

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10楼2011-12-14 12:20:00

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