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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 请教形函数的导数在任意四边形的积分，谢谢
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lijunjiexm

铁虫 (小有名气)

[求助] 请教形函数的导数在任意四边形的积分，谢谢

计算形函数的导数在任意四边形的积分，
应用格林公式：

但是我不知道这个积分最终等于多少(假设为4节点四边形单元,i=1,2,3,4). 因为 是x,y的函数，所以上式的曲线积分我不知道怎么处理x，请大家多多指教。谢谢!
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1楼2011-11-05 07:39:57
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2011-11-05 12:00:15
lijunjiexm(金币+5): 谢谢您的回复，请看我后面的回复，谢谢 2011-11-05 12:32:47
由于具体的形函的多样性和四边形的多多样性，在四边形的边界上y与x的关系确定，即y是x的函数，从而得到每条边上的Ni（x,y）=Ni(x,y(x))及dy,这样计算四边开边界上线积分可以转化为计算四个一元函数的定积分的和。但这样的话每条边界上都要计算，如果剖分单元在太多使计算量大副增加。因此在很多情况下使用用数值积分去直接计算重积分。
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2楼2011-11-05 10:46:17
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2011-11-05 12:00:22
如果能写出四条边的线段的参数方程，就可代入继续求曲线积分啊！
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学好外语，不忘数学！
3楼2011-11-05 11:10:10
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lijunjiexm

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-05 11:10:10:
如果能写出四条边的线段的参数方程，就可代入继续求曲线积分啊！

举个例子，矩形四边形


计算边界kl上的积分（节点按顺时针编号，i,j,k,l所以相应的形函数要重排（对应逆时针编号的情形））, 我的计算结果在粉红色的部分（帮我看看这部分哪里有问题就行）


但是正确结果应该是上面的再乘以一个1/2 !
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4楼2011-11-05 12:29:36
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

lijunjiexm(金币+25): 明白，谢谢，标准单位四边形长为2，我一直记为1，这是问题所在 2011-11-05 15:00:31
引用回帖:
4楼: Originally posted by lijunjiexm at 2011-11-05 12:29:36:
举个例子，矩形四边形


计算边界kl上的积分（节点按顺时针编号，i,j,k,l所以相应的形函数要重排（对应逆时针编号的情形））, 我的计算结果在粉红色的部分（帮 ...

你采用的形函数是标准备的单位正方形[-1，1]*[-1，1]上的,而图中的单元是一般的矩形，在图中边上\eta与y间的关系是\eta=2(y-c)/(y_k-y_l),其中c=(y_k+y_l)/2，于是在积分中dy=(y_l-y_k)/2* d\eta.
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5楼2011-11-05 14:14:24
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lijunjiexm

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by xuyx_78 at 2011-11-05 14:14:24:
你采用的形函数是标准备的单位正方形[-1，1]*[-1，1]上的,而图中的单元是一般的矩形，在图中边上\eta与y间的关系是\eta=2(y-c)/(y_k-y_l),其中c=(y_k+y_l)/2，于是在积分中dy=(y_l-y_k)/2* d\eta.

是否对任意凸四边形都可以呢？我试试看看，能不能得到类似的公式
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xuyx_78
6楼2011-11-05 18:44:29
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
送鲜花一朵
引用回帖:
6楼: Originally posted by lijunjiexm at 2011-11-05 18:44:29:
是否对任意凸四边形都可以呢？我试试看看，能不能得到类似的公式

对任意四边形单元，你可以参考朱明权《解任意四边形板弯曲问题的样条有限元》（1987）这篇文章。
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7楼2011-11-05 19:59:02
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