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jiangyuba

铜虫 (初入文坛)

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[求助] 请教一个矩阵求逆问题

最近在看文献的过程,看到一个矩阵求逆问题,百思不得其解.问题是这样的:已知一个对称矩阵H,它的逆为U,也是已知的,如果删除矩阵H中的第d行和第d 列元素,要求删除后的元素的逆.文献上的公式是见附件,恳请各位大侠帮忙!不胜感激!
其中

[ Last edited by jiangyuba on 2011-5-4 at 10:12 ]

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1楼2011-05-04 10:07:15

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pengyehui

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

jiangyuba(金币+30): 非常感谢,很受用! 2011-05-05 08:56:09

就d=1的情况予以证明，其他类似！
设 $H=\begin{bmatrix} a_{11}&b^T \\ b& h \end{bmatrix}, U=\begin{bmatrix} u_{11}& v^{T}\\ v& g \end{bmatrix}$
由于对称性，h, g都是对称矩阵，依题意，就是要求h的逆，由于HU=I,可知
$\begin{bmatrix} a_{11}u_{11}+b^Tv& a_{11}v^{T}+b^Tg\\ u_{11}b+hv & bv^T+hg \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & I \end{bmatrix}$
由　
$bv^T+hg=I \Rightarrow h^{-1}=g\left ( I-bv^T \right )^{-1}=g+\frac{gbv^T}{1-v^Tb}$
有
$a_{11}u_{11}+b^Tv=1\Rightarrow 1-v^Tb=a_{11}u_{11}\\ a_{11}v^T+b^Tg=0 \Rightarrow gbv^T=-a_{11}vv^T$
这两个式子代入前面那个式子，就可以得到你要的结果！