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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】弱弱求助通俗解释一下完备性？
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】弱弱求助通俗解释一下完备性？

求助通俗解释一下完备性？为什么需要完备性，比如乘积测度空间为什么必须是完备的？
本人数学半文盲，请大虾指教！
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1楼 2011-01-17 16:37:24
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
完备性这个词有多种含义，你先具体叙述一下你所问的完备性是什么概念。
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2楼2011-01-17 17:04:04
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
请大虾解释以下两个问题：
（1）主要是测度空间的完备性以及乘积测度空间为什么需要测度空间是完备的？这地方是没有理解，请大虾细指教一下！
（2) 是不是还有一种概念叫“测度空间的完全性”? 我查了下书本解释：一个测度空间(measure space)是完全的，如果它的任何零测集(null set)的任何子集都是可测的。 但疑问的是“零测集的任何子集不都是可测的吗？！”，难道还有零测集的子集是不可测的？

[ Last edited by rainbowguy on 2011-1-17 at 17:13 ]
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3楼2011-01-17 17:08:45
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+5): 2011-01-18 08:19:25
关于你的第二个问题，建议你再看看我上次回答时所给的例子。

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=2795264&fpage=1

零测集的子集不必可测，例如(1)

看来你说的“测度空间的完备性”与“测度空间的完全性”是两回事，那我这里的书上只有“测度空间的完全性”（零集的任意子集可测），没有“测度空间的完备性”，也没有什么乘积测度要求测度空间完备这样的说法。

能谈完备性的东西是“可积函数空间”，所谓p次可积函数空间(p>=1)是指绝对值的 p 次幂具有有限积分值的可测函数全体，而完备性则指一列函数如果是 p 次方的基本序列（当n与m充分大时，f_m-f_n 的绝对值p次幂积分任意小），则该函数列按 p 次幂平均收敛（即存在 p 次方可积函数 f 使得 f_n-f 的绝对值p次幂积分趋于零）。
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4楼2011-01-17 18:45:36
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hill008

金虫 (正式写手)
你所说的测度空间完备性和完全性都是同一个意思，只不过有些书用“完备性”，有些书用“完全性”。任何测度空间(X,F,m)均可通过补充一些m零测集的子集,将其完备化，比如Lebesgue可测空间就是Borel可测空间的完备化。完备的测度空间给问题的讨论带来很大的好处，比如我们可以不必关心零测集子集的可测性。
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5楼2011-01-17 19:38:59
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
在谈到Fubini定理时，要求乘积测度空间是完备的，一直不明白为什么这样要求？
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-17 18:45:36:
关于你的第二个问题，建议你再看看我上次回答时所给的例子。

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=2795264&fpage=1

零测集的子集不必可测，例如(1)

看来你说的“测度空间的完备性” ...

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6楼2011-01-17 21:48:47
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
测度空间的完备性和完全性一样吗？但从字面上各自的解释上是不一样啊，
测度空间完备性好像指空间任意柯西序列收敛在此空间内，则称测度空间为完备的；
测度空间完全性好像指如果其任何零侧集的子集都是可测的，则称测度空间是完全的。
引用回帖:
Originally posted by hill008 at 2011-01-17 19:38:59:
你所说的测度空间完备性和完全性都是同一个意思，只不过有些书用“完备性”，有些书用“完全性”。任何测度空间(X,F,m)均可通过补充一些m零测集的子集,将其完备化，比如Lebesgue可测空间就是Borel可测空间的完备化 ...

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7楼2011-01-17 21:52:32
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hill008

金虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+5): 2011-01-18 08:21:17
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-01-17 21:48:47:
在谈到Fubini定理时，要求乘积测度空间是完备的，一直不明白为什么这样要求？


乘积测度的完备化就是我说的那个意思。因为两个测度相乘未必就是乘积可测空间的测度，但是总可通过完备化使其成为测度。

[ Last edited by hill008 on 2011-1-17 at 22:36 ]
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8楼2011-01-17 22:34:34
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
大虾说的任何测度空间(X,F,m)均可通过补充一些m零测集的子集,将其完备化.
为什么补充一些m零测集的子集就可以？我还是对完备性理解不好。
另外，你举的例子“Lebesgue可测空间就是Borel可测空间的完备化”，为什么？
请大虾详细讲解一下！
引用回帖:
Originally posted by hill008 at 2011-01-17 19:38:59:
你所说的测度空间完备性和完全性都是同一个意思，只不过有些书用“完备性”，有些书用“完全性”。任何测度空间(X,F,m)均可通过补充一些m零测集的子集,将其完备化，比如Lebesgue可测空间就是Borel可测空间的完备化 ...

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9楼2011-01-18 08:24:07
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
Pchief大虾，找了下测度空间完备性的定义，见下：
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2011-01-17 18:45:36:
关于你的第二个问题，建议你再看看我上次回答时所给的例子。

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=2795264&fpage=1

零测集的子集不必可测，例如(1)

看来你说的“测度空间的完备性” ...

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10楼2011-01-18 11:22:42
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