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rainbowguy

银虫 (正式写手)

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[交流] 【求助】可测集的子集一定可测吗？

如题，可测集的子集一定可测吗？
如不是，请举个反例

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1楼 2011-01-13 11:19:54

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

rainbowguy(金币+5):大虾果然思路清晰，佩服佩服！ 2011-01-13 14:46:57

关于可测集的子集是否可测，有如下结论：

（1）一般而言可测集的子集不必可测，简单例子有如：底空间为 X = {0,1}，X 上的 σ环（实际上是 σ代数） A={空集，X}， A 上恒等于零的函数是一个测度，在这个测度之下，X 的子集{0}就不是可测集，因为它不属于 A。

（2） Lebesgue 零测度集的任何子集皆为 Lebesgue 可测集。（如果一个测度下的零测集，其任何子集均可测，则称此测度为完全测度。凡是由环 R上测度延拓而来的H(R)中满足卡拉氏条件的集合所成的σ环上的测度均为完全测度，Lebesgue测度是一个特例，详情参阅文[1]114页引理2.1.3。）

（3）如果一个集合的 Lebesgue 外测度大于零，则它必包含非 Lebesgue 可测的子集，例子参见文[1]150-153页定理2.3.3。

[ Last edited by Pchief on 2011-1-13 at 13:14 ]