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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】可测集的子集一定可测吗？
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】可测集的子集一定可测吗？

如题，可测集的子集一定可测吗？
如不是，请举个反例
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1楼 2011-01-13 11:19:54
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+5):大虾果然思路清晰，佩服佩服！ 2011-01-13 14:46:57
关于可测集的子集是否可测，有如下结论：

（1） 一般而言可测集的子集不必可测，简单例子有如：底空间为 X = {0,1}，X 上的 σ环 （实际上是 σ代数） A={空集，X}， A 上恒等于零的函数是一个测度，在这个测度之下，X 的子集{0}就不是可测集，因为它不属于 A。

（2） Lebesgue 零测度集的任何子集皆为 Lebesgue 可测集。 （如果一个测度下的零测集，其任何子集均可测，则称此测度为完全测度。凡是由环 R上测度延拓而来的H(R)中满足卡拉氏条件的集合所成的σ环上的测度均为完全测度，Lebesgue测度是一个特例，详情参阅文[1]114页引理2.1.3。）

（3） 如果一个集合的 Lebesgue 外测度大于零，则它必包含非 Lebesgue 可测的子集，例子参见文[1]150-153页定理2.3.3。

[ Last edited by Pchief on 2011-1-13 at 13:14 ]
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2楼2011-01-13 13:01:41
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
真是疏忽大意，忘了给参考文献的名称：

[1] 《实变函数论》徐森林编著，中国科学技术大学出版社2002年。
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3楼2011-01-13 16:26:21
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
谢谢大虾指教
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4楼2011-01-14 11:10:42
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