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rainbowguy

银虫 (正式写手)


[交流] 【求助】可测集的子集一定可测吗?

如题,可测集的子集一定可测吗?
如不是,请举个反例
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小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
真是疏忽大意,忘了给参考文献的名称:

[1] 《实变函数论》徐森林编著,中国科学技术大学出版社2002年。
3楼2011-01-13 16:26:21
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rainbowguy(金币+5):大虾果然思路清晰,佩服佩服! 2011-01-13 14:46:57
关于可测集的子集是否可测,有如下结论:

(1) 一般而言可测集的子集不必可测,简单例子有如:底空间为 X = {0,1},X 上的 σ环 (实际上是 σ代数) A={空集,X}, A 上恒等于零的函数是一个测度,在这个测度之下,X 的子集{0}就不是可测集,因为它不属于 A。

(2) Lebesgue 零测度集的任何子集皆为 Lebesgue 可测集。 (如果一个测度下的零测集,其任何子集均可测,则称此测度为完全测度。凡是由环 R上测度延拓而来的H(R)中满足卡拉氏条件的集合所成的σ环上的测度均为完全测度,Lebesgue测度是一个特例,详情参阅文[1]114页引理2.1.3。)

(3) 如果一个集合的 Lebesgue 外测度大于零,则它必包含非 Lebesgue 可测的子集,例子参见文[1]150-153页定理2.3.3。

[ Last edited by Pchief on 2011-1-13 at 13:14 ]
2楼2011-01-13 13:01:41
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