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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】一个趣题求助
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sxu2009

至尊木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】一个趣题求助

设：n是一个大于5的整数，M是从1到n的整数的集合，A是从M中元素选择4个的排列的集合；B是从M中选择两个的排列的集合。

问：如何确定A的一个子集C，使得C中的元素数目最少且
(1).  C中排列的”前两位“、”后两位““ 均遍历B中的排列？
(2).  C中排列的”第一位和最后一位“覆盖B尽可能多的中排列。

[ Last edited by sxu2009 on 2011-1-3 at 10:17 ]
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1楼 2010-12-09 10:53:07
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ykwang

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
三个小石子(金币+100):问题解决，楼主给的奖励 2010-12-12 11:52:54
三个小石子(金币+5):版主奖励，感谢参与讨论，欢迎常来数学版！ 2010-12-12 11:54:04


[ Last edited by ykwang on 2010-12-11 at 21:28 ]
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5楼2010-12-11 21:15:50
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sxu2009

至尊木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-12-11 21:15:50:


[ Last edited by ykwang on 2010-12-11 at 21:28 ]

非常感谢ykwang精彩的解答，谢谢！
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6楼2010-12-12 12:01:11
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sxu2009

至尊木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-12-11 21:15:50:


[ Last edited by ykwang on 2010-12-11 at 21:28 ]

Wang 老师，您好！假设您所构建的这个双射叫f，如果在原题增加“使得集合{first_x last_f(x):x属于B}=B”这一要求，是否还有解决方案啊？盼您能指导，谢谢！

ps: first_x表示排列x的第一个元素，last_f(x)表示f(x)的最后一个（即第二个）元素。

[ Last edited by sxu2009 on 2011-1-2 at 17:18 ]
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7楼2011-01-02 17:14:20
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ykwang

金虫 (正式写手)
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Originally posted by sxu2009 at 2011-01-02 17:14:20:


Wang 老师，您好！假设您所构建的这个双射叫f，如果在原题增加“使得集合{first_x last_f(x):x属于B}=B”这一要求，是否还有解决方案啊？盼您能指导，谢谢！
ps: first_x表示排列x的第一个元素，last_f(x) ...

我没有看懂你的问题，如“使得集合{first_x last_f(x):x属于B}=B”是指哪个集合？请再说得详细一些。
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8楼2011-01-02 17:29:28
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sxu2009

至尊木虫 (正式写手)
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Originally posted by ykwang at 2011-01-02 17:29:28:


我没有看懂你的问题，如“使得集合{first_x last_f(x):x属于B}=B”是指哪个集合？请再说得详细一些。

不好意思，我表达的不清楚，举个例子：对于B中的任意一个元素(x1,x2)，设f(x1,x2)=(y1,y2)，则（first_x，last_f(x)）表示(x1,y2)。

即原题中加上一个要求“ { (x1, y2) | (x1,x2)属于B 且 (y1,y2)=f(x1, x2) }也遍历B”。

[ Last edited by sxu2009 on 2011-1-2 at 17:49 ]
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9楼2011-01-02 17:46:21
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ykwang

金虫 (正式写手)
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Originally posted by sxu2009 at 2011-01-02 17:46:21:

不好意思，我表达的不清楚，举个例子：对于B中的任意一个元素(x1,x2)，设f(x1,x2)=(y1,y2)，则（first_x，last_f(x)）表示(x1,y2)。
即原题中加上一个要求“ { (x1, y2) | (x1,x2)属于B 且 (y1,y2)=f(x1, x2 ...

“ { (x1, y2) | (x1,x2)属于B 且 (y1,y2)=f(x1, x2) }也遍历B”,这个要求与“C是A的一个子集”的要求是矛盾的，因为{ (x1, y2) | (x1,x2)中x1出现了两次，故不可能是C中的元素。
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10楼2011-01-02 19:24:24
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sxu2009

至尊木虫 (正式写手)
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Originally posted by ykwang at 2011-01-02 19:24:24:


“ { (x1, y2) | (x1,x2)属于B 且 (y1,y2)=f(x1, x2) }也遍历B”,这个要求与“C是A的一个子集”的要求是矛盾的，因为{ (x1, y2) | (x1,x2)中x1出现了两次，故不可能是C中的元素。

没有看太明白您的意思，A实际上可以看成一个四元组的集合，x1只是四元组的第一个元素，如果x1出现两次，则这两个四元组也可能会不同，所以和“C是A的子集”也可能不矛盾。

实际上，可以换一种方式表达题目的要求，即，

问：如何确定A的一个子集C，使得C中的元素数目最少（可能是n(n-1)）且C中排列的“前两位”，“后两位”，“第一位和最后一位”均遍历B中的排列？

您看是不是这样的？
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11楼2011-01-02 19:38:59
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sxu2009

至尊木虫 (正式写手)
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Originally posted by ykwang at 2011-01-02 19:24:24:


“ { (x1, y2) | (x1,x2)属于B 且 (y1,y2)=f(x1, x2) }也遍历B”,这个要求与“C是A的一个子集”的要求是矛盾的，因为{ (x1, y2) | (x1,x2)中x1出现了两次，故不可能是C中的元素。

您好，题目的要求可以这样表达“如何确定A的一个子集C，使得C中的元素数目最少且C中排列的”前两位“、”后两位“、”第一位和最后一位“ 均遍历B中的排列？

A是一个具有四个元素的排列的集合，不妨把A中的每个排列看成一个四元组，若我们找到了A的一个子集C满足题中要求，设(x1, x2, y1, y2)和(x1, x3, y3, y4)是C中的任意两个排列，虽说x1出现两次，但(x1, x2, y1, y2)和(x1, x3, y3, y4)也可能是两个不同的排列。

您看是不是这样？
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12楼2011-01-02 20:01:09
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kingze-van2楼
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