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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】矩阵的求解问题
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zslfw5222

新虫 (小有名气)

[交流] 【求助】矩阵的求解问题

如果A,B均为N阶方阵，AB+BA=0,且A可逆，怎么证明B=0？
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1楼 2010-10-25 09:06:20
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lixy1217

木虫 (著名写手)
zslfw5222(金币+1):谢谢，很好的反例 2010-10-25 13:59:44
引用回帖:
Originally posted by Ptolomaeus at 2010-10-25 09:31:36:
命题不成立
反例：
A=[2,1;-4,-2], B=[1,1;0,-1]

呵呵，这个反例貌似给的不好，因为A是不可逆的

偶来给个反例吧

A=[0,1;1,0]   ,  B=[1,0;0,-1]

[ Last edited by lixy1217 on 2010-10-25 at 10:03 ]
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
3楼2010-10-25 09:47:33
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
zslfw5222(金币+1):谢谢参与，不过A不是可逆的 2010-10-25 13:57:13
命题不成立
反例：
A=[2,1;-4,-2], B=[1,1;0,-1]
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2楼2010-10-25 09:31:36
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
zslfw5222(金币+1):谢谢，很好的反例 2010-10-25 14:02:41
此结论不成立，反例有如：
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4楼2010-10-25 09:55:05
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
zslfw5222(金币+2):明白了，谢谢指教 2010-10-25 14:01:38
wuguocheng(数学EPI+1):Pchief 辛苦了 2010-10-28 20:12:38
事实上，“AB+BA=0,且A可逆” 这个条件等价于 “B相似于 -B”，但却是无法推得B=0的。

好比说设B是n阶约当块(Jordan Block)，则B 相似于 -B，可取如下矩阵 A为过渡矩阵：

A= diag {1, -1, 1, -1, ...... (-1)^(n-1)}

[ Last edited by Pchief on 2010-10-25 at 10:12 ]
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6楼2010-10-25 09:59:39
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