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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】能不能在C(R)上赋予范数？
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fyq98

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】能不能在C(R)上赋予范数？

【求助】能不能在C(R)上赋予范数？
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克难奋进
1楼 2010-10-04 21:14:36
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
fyq98(金币+1):谢谢参与！ 2010-10-05 07:04:00
比如L2范数
参见http://mathworld.wolfram.com/L2-Norm.html
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2楼2010-10-04 21:58:49
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
fyq98(金币+1):谢谢参与！ 2010-10-05 07:04:19
C(R)按实数加法和数乘成为线性空间，而线性空间都可以赋予范数和准范数的

[ Last edited by just_play on 2010-10-4 at 22:53 ]
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So Trivial !
3楼2010-10-04 22:48:34
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fyq98

木虫 (正式写手)
这个问题难就难在C(R)上的函数可能是无界的。C(R)可以成为一个Fr'echet空间，但有没有办法使之成为一个Banach 空间？请具体指出一种赋范的方式。

[ Last edited by fyq98 on 2010-10-5 at 17:31 ]
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克难奋进
4楼2010-10-05 07:18:43
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liangchin

木虫 (著名写手)
★
fyq98(金币+1):谢谢参与
学习！！
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5楼2010-10-05 08:32:39
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★
fyq98(金币+1):谢谢参与
引用回帖:
Originally posted by fyq98 at 2010-10-05 07:18:43:
这个问题难就难在C(R)上的函数可能是无界的。C(R)可以成为一个Frechet空间，但有没有办法使之成为一个Bnanch 空间？请具体指出一种赋范的方式。

范数作为泛函也可以是无界的吧，‖f(x)‖= sup|f(x)|满足要求不？
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So Trivial !
6楼2010-10-05 16:01:47
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fyq98

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2010-10-05 16:01:47:


范数作为泛函也可以是无界的吧，‖f(x)‖= sup|f(x)|满足要求不？

根据标准定义，范数对于每个确定的元素而言，一定是一个确定的非负数，你上面的这种定义方式我也想过，但会出现范数为无穷的情形，是否可以看作广义的赋范空间？有没有这样的先例，或者是一个值得研究的课题？

[ Last edited by fyq98 on 2010-10-5 at 17:27 ]
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克难奋进
7楼2010-10-05 16:05:13
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
fyq98(金币+1):谢谢参与
在汪林编的《泛函分析中的反例》(高等教育出版社1994年，本版块中应该有下载)第37～38页找到如下结果：

如果一个无穷维线性空间的Hamel维数——即所有Hamel基的势中的最小者——为a，则该空间可赋予完备范数的充分必要条件是a^b = a 其中 b 代表可数集的势。

[ Last edited by Pchief on 2010-10-5 at 17:08 ]
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8楼2010-10-05 17:07:44
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fyq98

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-10-05 17:07:44:
在汪林编的《泛函分析中的反例》(高等教育出版社1994年，本版块中应该有下载)第37～38页找到如下结果：

如果一个无穷维线性空间的Hamel维数——即所有Hamel基的势中的最小者——为a，则该空间可赋予完备范数的 ...

这就有一个问题了：C(R)是否以多项式函数为其稠密子集？C[a,b]上一定成立，但R非紧。
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克难奋进
9楼2010-10-05 17:30:10
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by fyq98 at 2010-10-05 17:30:10:

这就有一个问题了：C(R)是否以多项式函数为其稠密子集？C[a,b]上一定成立，但R非紧。

要谈稠密这个概念，你先得有个拓扑，现在 C(R) 上尚未赋予范数，试问你的拓扑从何而来？
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10楼2010-10-05 17:50:15
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