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shuweilyou

木虫 (正式写手)

穷秀才

[交流] 【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)

对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y),个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。
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fyq98

木虫 (正式写手)

★
小雨萌萌(金币+1):谢谢参与!线性函数在原点取值一定为0? 2010-09-28 22:32:54
在一元函数的范围内,这是一个线性函数的充分必要条件,证明如下:
(1)f(0+0)=f(0)+f(0),则f(0)=0;
(2)f(x-x)=f(x)+f(-x),则f(-x)=-f(x);
(3)对于任意正整数m,f(m)=mf(1);
(4)对于任意正整数m,n,f(n)=mf(n/m);
(5)由(3)(4)知f(n/m)=n/mf(1);
(6)于是知对于任意有理数f(x)=xf(1);
(7)如果f(x)连续;
(8)则对所有无理数亦有f(x)=xf(1).

[ Last edited by fyq98 on 2010-9-28 at 17:59 ]
克难奋进
7楼2010-09-28 09:23:48
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nest代数

银虫 (正式写手)

★
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:54:58
wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:02
这只能说明f是可加函数,离线性还有点距离。
2楼2010-09-27 17:14:15
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xiachunguang

铁杆木虫 (著名写手)

★
小雨萌萌(金币+1):谢谢回帖交流 2010-09-28 22:29:18
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:55:02
搞清概念:线性=保数乘+保加法
跌倒了,爬起来还是帅!
3楼2010-09-27 17:25:17
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wang212124

铁杆木虫 (著名写手)

ponder

★
小雨萌萌(金币+1):谢谢提供资料 2010-09-28 22:31:02
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:55:08
用分段函数或者是黎曼函数试一下,可以参考《数学分析》华东师范大学出版的
ponder
4楼2010-09-27 20:56:33
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