[交流] 【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)

对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。

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1楼 2010-09-27 17:09:11

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fyq98

木虫 (正式写手)

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小雨萌萌(金币+1):谢谢参与！线性函数在原点取值一定为0？ 2010-09-28 22:32:54

在一元函数的范围内，这是一个线性函数的充分必要条件，证明如下：
（1）f(0+0)=f(0)+f(0),则f(0)=0;
（2）f(x-x)=f(x)+f(-x),则f(-x)=-f(x);
（3）对于任意正整数m,f(m)=mf(1);
（4）对于任意正整数m,n,f(n)=mf(n/m);
（5）由(3)(4)知f(n/m)=n/mf(1);
（6）于是知对于任意有理数f(x)=xf(1);
（7）如果f(x)连续;
（8）则对所有无理数亦有f(x)=xf(1).

[ Last edited by fyq98 on 2010-9-28 at 17:59 ]