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shuweilyou木虫 (正式写手)
穷秀才
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[交流]
【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)
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| 对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。 |
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fyq98
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小雨萌萌(金币+1):谢谢参与！线性函数在原点取值一定为0？ 2010-09-28 22:32:54
小雨萌萌(金币+1):谢谢参与！线性函数在原点取值一定为0？ 2010-09-28 22:32:54
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在一元函数的范围内，这是一个线性函数的充分必要条件，证明如下： （1）f(0+0)=f(0)+f(0),则f(0)=0; （2）f(x-x)=f(x)+f(-x),则f(-x)=-f(x); （3）对于任意正整数m,f(m)=mf(1); （4）对于任意正整数m,n,f(n)=mf(n/m); （5）由(3)(4)知f(n/m)=n/mf(1); （6）于是知对于任意有理数f(x)=xf(1); （7）如果f(x)连续; （8）则对所有无理数亦有f(x)=xf(1). [ Last edited by fyq98 on 2010-9-28 at 17:59 ] |
7楼2010-09-28 09:23:48
fyq98
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wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21
wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21
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你说得对，并没提f的连续性，所以不能保证是线性函数。这个问题可是历史上著名的问题，Cauchy曾经解决过它，结论很有意思。关于这个问题的一些进展详见 http://www.ams.org/journals/bull ... 04-1942-07615-4.pdf |
10楼2010-09-28 17:58:14