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shuweilyou

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[交流] 【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)

对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。

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1楼 2010-09-27 17:09:11

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fyq98

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wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21

引用回帖:

Originally posted by Pchief at 2010-09-28 10:11:15:
没说是连续的。

保有理数数乘那倒是肯定的，这是保加法的直接推论，7楼已经展示。至于保实数数乘那就不一定了。

实际上，基于选择公理，存在着 R （实数集合）作为 Q （有理数域）上向量空间的一个 Hamel 基 ...

你说得对，并没提f的连续性，所以不能保证是线性函数。这个问题可是历史上著名的问题，Cauchy曾经解决过它，结论很有意思。关于这个问题的一些进展详见
http://www.ams.org/journals/bull ... 04-1942-07615-4.pdf

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克难奋进

10楼2010-09-28 17:58:14

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nest代数

银虫 (正式写手)

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shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:54:58
wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:02

这只能说明f是可加函数，离线性还有点距离。

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2楼2010-09-27 17:14:15

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xiachunguang

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小雨萌萌(金币+1):谢谢回帖交流 2010-09-28 22:29:18
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:55:02

搞清概念:线性=保数乘+保加法

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跌倒了，爬起来还是帅！

3楼2010-09-27 17:25:17

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wang212124

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ponder

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小雨萌萌(金币+1):谢谢提供资料 2010-09-28 22:31:02
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:55:08

用分段函数或者是黎曼函数试一下，可以参考《数学分析》华东师范大学出版的

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ponder

4楼2010-09-27 20:56:33

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