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shuweilyou

木虫 (正式写手)

穷秀才

[交流] 【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)

对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y),个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。
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fyq98

木虫 (正式写手)


wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-09-28 10:11:15:
没说是连续的。

保有理数数乘那倒是肯定的,这是保加法的直接推论,7楼已经展示。至于保实数数乘那就不一定了。

实际上,基于选择公理,存在着 R (实数集合)作为 Q (有理数域)上向量空间的一个 Hamel 基 ...

你说得对,并没提f的连续性,所以不能保证是线性函数。这个问题可是历史上著名的问题,Cauchy曾经解决过它,结论很有意思。关于这个问题的一些进展详见
http://www.ams.org/journals/bull ... 04-1942-07615-4.pdf
克难奋进
10楼2010-09-28 17:58:14
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nest代数

银虫 (正式写手)


shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:54:58
wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:02
这只能说明f是可加函数,离线性还有点距离。
2楼2010-09-27 17:14:15
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xiachunguang

铁杆木虫 (著名写手)


小雨萌萌(金币+1):谢谢回帖交流 2010-09-28 22:29:18
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:55:02
搞清概念:线性=保数乘+保加法
跌倒了,爬起来还是帅!
3楼2010-09-27 17:25:17
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wang212124

铁杆木虫 (著名写手)

ponder


小雨萌萌(金币+1):谢谢提供资料 2010-09-28 22:31:02
shuweilyou(金币+1): 2010-09-29 14:55:08
用分段函数或者是黎曼函数试一下,可以参考《数学分析》华东师范大学出版的
ponder
4楼2010-09-27 20:56:33
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