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shuweilyou

木虫 (正式写手)

穷秀才

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[交流] 【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)

对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。

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1楼 2010-09-27 17:09:11

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fyq98

木虫 (正式写手)

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★
wuguocheng(金币+1): 2010-10-22 19:29:21

引用回帖:

Originally posted by Pchief at 2010-09-28 10:11:15:
没说是连续的。

保有理数数乘那倒是肯定的，这是保加法的直接推论，7楼已经展示。至于保实数数乘那就不一定了。

实际上，基于选择公理，存在着 R （实数集合）作为 Q （有理数域）上向量空间的一个 Hamel 基 ...

你说得对，并没提f的连续性，所以不能保证是线性函数。这个问题可是历史上著名的问题，Cauchy曾经解决过它，结论很有意思。关于这个问题的一些进展详见
http://www.ams.org/journals/bull ... 04-1942-07615-4.pdf