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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】关于势阱中粒子基态时动量概率的计算
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊

[交流] 【求助】关于势阱中粒子基态时动量概率的计算

周世勋《量子力学教程》（第二版）39页例题：“例1 设一维无限深方势阱宽度为a，求处于基态的粒子的动量分布。”
求出归一化基态波函数后，用动量本征函数展开，再由傅里叶变换求出展开系数，既得动量分布函数。然后我求出“注意”中动量p=±h/2a的概率值，为a/2h，因h的数量级是10的-34次方，则概率会远远大于1，但动量分布函数是归一化的，不知哪里出错了，还请虫友们指点，谢谢！

[ Last edited by 天仙老人 on 2009-12-26 at 20:50 ]
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成功需要智勇的执著
1楼 2009-12-26 14:01:14
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
公式的推算并不复杂，推导中e指数看不清的是ipx2∏/h和ipa2∏/h，我验算推导的结果没有错误，但结果反应的物理含义存在问题，请虫友们指点，谢谢！
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成功需要智勇的执著
2楼2009-12-27 08:32:55
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★ ★ ★
天仙老人(金币+1,VIP+0): 12-27 11:45
小木虫:)(金币+2,VIP+0):3q 12-28 15:43
我觉得你的问题是没有区分概率和概率密度这两个概念而带来的：在某个区间上的概率等于概率密度在此区间上的积分，概率密度本身没必要小于1而只要在某区间上的概率即积分的结果不大于1就可以了。。。
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So Trivial !
3楼2009-12-27 11:36:56
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2009-12-27 11:36:
我觉得你的问题是没有区分概率和概率密度这两个概念而带来的：在某个区间上的概率等于概率密度在此区间上的积分，概率密度本身没必要小于1而只要在某区间上的概率即积分的结果不大于1就可以了。。。

我觉得当积分区间趋向于一点时，这一区间的概率就和这一点的概率密度相等了，这里计算的就是当动量p为具体值（或p值附近，无限接近p值）的概率。
而且动量是连续变化的，C（p）又是归一化的，假设取积分区间长度为1，而C（p）模平方大于0，在这区间又有远远大于1的值，作积分后所得的概率不更是远大于1了吗？
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成功需要智勇的执著
4楼2009-12-27 12:03:29
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★ ★ ★ ★ ★ ★
天仙老人(金币+1,VIP+0): 12-27 12:31
小木虫:)(金币+5,VIP+0):3q 12-28 15:43
引用回帖:
Originally posted by 天仙老人 at 2009-12-27 12:03:

我觉得当积分区间趋向于一点时，这一区间的概率就和这一点的概率密度相等了，这里计算的就是当动量p为具体值（或p值附近，无限接近p值）的概率。
而且动量是连续变化的，C（p）又是归一化的，假设取积分区间长 ...

你的那个值是不是对概率密度运用了一次洛比达法则求出来的吧。我觉得其实它给的表达式本身就有问题。当然，这个问题不是说计算的问题。而是如果取分母为0的那个动量值的话，是一个0/0的不定型。不错，通过数学上求极限的方法可以得到具体的结果。但是从物理上讲，似乎还是有问题的。
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5楼2009-12-27 12:19:33
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by yzcluster at 2009-12-27 12:19:


你的那个值是不是对概率密度运用了一次洛比达法则求出来的吧。我觉得其实它给的表达式本身就有问题。当然，这个问题不是说计算的问题。而是如果取分母为0的那个动量值的话，是一个0/0的不定型。不错，通过数学 ...

是用洛比达法则求出来的，从物理的角度出发如何求这个概率呢?我觉得结果还是要通过数学运算得出，用求极限的方法思想或许没有问题，只是得出结果之后发现了问题，我想问题可能出在由物理思想向数学思想转化上，老师觉得如何来计算这个概率值呢?
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成功需要智勇的执著
6楼2009-12-27 12:50:31
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
天仙老人(金币+3,VIP+0): 12-27 15:20
小木虫:)(金币+5,VIP+0):3q 12-28 15:44
引用回帖:
Originally posted by 天仙老人 at 2009-12-27 12:50:

是用洛比达法则求出来的，从物理的角度出发如何求这个概率呢?我觉得结果还是要通过数学运算得出，用求极限的方法思想或许没有问题，只是得出结果之后发现了问题，我想问题可能出在由物理思想向数学思想转化上， ...

我不是老师，也只是个学生而已。不过从你给出的解释让我认识到在另一帖子中我的那个说法是不对的。的确，我们所要求的结果是在0-a这一段有限空间上的一个“驻波”，因此用平面波叠加形成这个有限区域上的“驻波”时，所用的肯定不止两项平面波，而应该是无穷多项。所以目前的这个结果更合理。因此我现在觉得包括爱因斯坦等人所给出的那个答案是错的。所以这里似乎也就没有什么量子力学的不自洽问题了。

你的错误我想应该是这样，就是你的h这里不是指普朗克常量。因为你的h最早出现在了第5行，它应该是箱式归一化中的“箱的边长”。但是你后面似乎又把它跟普朗克常量h混到了一起。你再把第五行的那个动量本征态重新归一（或是归一到DELTA函数），看看那个动量本征态下面除的（h开方）到底是个什么东西。
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7楼2009-12-27 13:22:08
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by yzcluster at 2009-12-27 13:22:


我不是老师，也只是个学生而已。不过从你给出的解释让我认识到在另一帖子中我的那个说法是不对的。的确，我们所要求的结果是在0-a这一段有限空间上的一个“驻波”，因此用平面波叠加形成这个有限区域上的“驻 ...

在此对动量的本征函数推导及归一化，我觉得其中的h即是普朗克常数，不是箱边长，归一化因子根号中是2∏乘以“h一横”，也就是h。
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成功需要智勇的执著
8楼2009-12-27 16:00:32
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★ ★ ★
小木虫:)(金币+3,VIP+0):3q 12-28 15:44
如果归一化常数正确的话，那么你再重新算一算你的那个积分。我是这么考虑的，当某个表象的波函数Y（例如能量表象）向另一个表象的完备基Xi展开时（例如动量表象），即Y=sum(i)CiXi，其中的Ci应该是没有单位的，但是你的结果a/2h，a是长度单位，h是角动量单位。所以展开系数a/2h的物理单位不为1。你看着是不是个问题呢？

[ Last edited by yzcluster on 2009-12-27 at 17:28 ]
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9楼2009-12-27 17:27:37
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by yzcluster at 2009-12-27 17:27:
如果归一化常数正确的话，那么你再重新算一算你的那个积分。我是这么考虑的，当某个表象的波函数Y（例如能量表象）向另一个表象的完备基Xi展开时（例如动量表象），即Y=sum(i)CiXi，其中的Ci应该是没有单位的，但 ...

不清楚的，C（p）的表达式是教材中给出的，只有概率是我把p值带入表达式求出来的，这里的h和a是不是只表示大小，不含单位呢？比如最初的基态波函数，sin函数是单位为1的，而系数包含a，若考虑a的单位的话，由基态波函数模方表示的概率不也含有单位了吗？
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10楼2009-12-27 17:59:02
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