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clcfang

银虫 (小有名气)

[求助] 数列证明题 已有2人参与

已知数列{Xn},{Yn}满足
Yn=Xn-pXn+1(第n+1项),其中p是常数,p>0,p≠1.证明Yn收敛当且仅当Xn收敛。又p<0时也收敛吗?
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数学!数学!
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空有生

新虫 (小有名气)

简单测试下,令Yn=0,此时Xn为1/p的幂函数,因而只有|p|>1时命题成立

发自小木虫IOS客户端
9楼2017-06-20 13:02:52
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alober

木虫 (著名写手)

★ ★ ★
clcfang(Edstrayer代发): 金币+3 2017-07-31 01:24:21


下面我做了一些假设,假设p>=1,y_n是正项数列。然后由 y_n 收敛可知部分和是有界的,这时x_n是收敛的。一般的情况我没能得到结果。
8楼2017-06-20 10:30:27
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普通回帖

alober

木虫 (著名写手)

必要性是显然的,x_n收敛必有y_n也收敛。但充分性不成立,例如让 p = 1/2,  y_n 收敛到 2,x_1 = 2,只要解差分方程就知道 x_n 不能收敛。
2楼2017-06-19 16:24:36
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
条件议程式为  ?
凡事,一笑而过。。。。。。
3楼2017-06-19 16:41:44
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clcfang

银虫 (小有名气)

引用回帖:
3楼: Originally posted by hylpy at 2017-06-19 16:41:44
条件议程式为y_n=x_n-px_{n+1}  ?

是的
数学!数学!
4楼2017-06-19 21:35:29
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clcfang

银虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by alober at 2017-06-19 16:24:36
必要性是显然的,x_n收敛必有y_n也收敛。但充分性不成立,例如让 p = 1/2,  y_n 收敛到 2,x_1 = 2,只要解差分方程就知道 x_n 不能收敛。

能给出Xn具体吗
数学!数学!
5楼2017-06-19 21:38:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
个人认为,可以根据Y(n)=X(n)-p*X(n+1),先用Z变换再用反变换来求出Y(n)与X(n)的确切关系,由此即可确定Yn收敛当且仅当Xn收敛的结论。
6楼2017-06-19 22:34:14
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alober

木虫 (著名写手)

引用回帖:
5楼: Originally posted by clcfang at 2017-06-19 21:38:33
能给出Xn具体吗...

我前面的关于充分性的解答是错的,我错在把 y_n 当成常数了。
7楼2017-06-20 06:20:43
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10楼2017-07-30 10:08:50
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