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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 数列证明题
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clcfang

银虫 (小有名气)

[求助] 数列证明题 已有2人参与

已知数列{Xn}，{Yn}满足
Yn=Xn-pXn+1（第n+1项），其中p是常数，p＞0，p≠1.证明Yn收敛当且仅当Xn收敛。又p＜0时也收敛吗？
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数学！数学！
1楼 2017-06-19 15:26:34
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

空有生

新虫 (小有名气)
简单测试下，令Yn=0，此时Xn为1/p的幂函数，因而只有|p|>1时命题成立

发自小木虫IOS客户端
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9楼2017-06-20 13:02:52
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alober

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
clcfang(Edstrayer代发): 金币+3 2017-07-31 01:24:21


下面我做了一些假设，假设p>=1，y_n是正项数列。然后由 y_n 收敛可知部分和是有界的，这时x_n是收敛的。一般的情况我没能得到结果。
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8楼2017-06-20 10:30:27
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普通回帖

alober

木虫 (著名写手)
必要性是显然的，x_n收敛必有y_n也收敛。但充分性不成立，例如让 p = 1/2,  y_n 收敛到 2，x_1 = 2，只要解差分方程就知道 x_n 不能收敛。
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2楼2017-06-19 16:24:36
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
条件议程式为  ?
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凡事，一笑而过。。。。。。
3楼2017-06-19 16:41:44
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clcfang

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hylpy at 2017-06-19 16:41:44
条件议程式为y_n=x_n-px_{n+1}  ?

是的
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数学！数学！
4楼2017-06-19 21:35:29
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clcfang

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by alober at 2017-06-19 16:24:36
必要性是显然的，x_n收敛必有y_n也收敛。但充分性不成立，例如让 p = 1/2,  y_n 收敛到 2，x_1 = 2，只要解差分方程就知道 x_n 不能收敛。

能给出Xn具体吗
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数学！数学！
5楼2017-06-19 21:38:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
个人认为，可以根据Y(n)=X(n)-p*X(n+1)，先用Z变换再用反变换来求出Y(n)与X(n)的确切关系，由此即可确定Yn收敛当且仅当Xn收敛的结论。
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6楼2017-06-19 22:34:14
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by clcfang at 2017-06-19 21:38:33
能给出Xn具体吗...

我前面的关于充分性的解答是错的，我错在把 y_n 当成常数了。
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7楼2017-06-20 06:20:43
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暗夜公爵宝宝


发自小木虫Android客户端
10楼2017-07-30 10:08:50
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