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clcfang

银虫 (小有名气)

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专业: 常微分方程与动力系统

[求助] 数列证明题已有2人参与

已知数列{Xn}，{Yn}满足
Yn=Xn-pXn+1（第n+1项），其中p是常数，p＞0，p≠1.证明Yn收敛当且仅当Xn收敛。又p＜0时也收敛吗？

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数学！数学！

1楼2017-06-19 15:26:34

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空有生

新虫 (小有名气)

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专业: 偏微分方程

简单测试下，令Yn=0，此时Xn为1/p的幂函数，因而只有|p|>1时命题成立

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9楼2017-06-20 13:02:52

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alober

木虫 (著名写手)

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注册: 2014-07-20

★ ★ ★
clcfang(Edstrayer代发): 金币+3 2017-07-31 01:24:21

$x_{n+1} = \frac{1}{p}x_n-\frac{1}{p}y_n = \frac{1}{p}(\frac{1}{p}x_{n-1}-\frac{1}{p}y_{n-1})-\frac{1}{p}y_n = \frac{1}{p^2}x_{n-1}-(\frac{1}{p^2}y_{n-1}+\frac{1}{p^1}y_n) = \cdots = \frac{1}{p^n}x_1-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p^k}y_{n+1-k}$

下面我做了一些假设，假设p>=1，y_n是正项数列。然后由 y_n 收敛可知部分和是有界的，这时x_n是收敛的。一般的情况我没能得到结果。

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8楼2017-06-20 10:30:27

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