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bwcq

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[交流] 请教一个公式的推导已有3人参与

我觉得应该不难，可是我不会。。。思路应该是幂级数展开

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1楼 2017-06-19 12:52:48

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songbai_hnu

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把和式写开，然后乘以sin(x/2), 利用三角函数的积化和差公式，再除以sin(x/2)

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2楼2017-06-19 13:16:52

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alober

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$\sum_{k=1}^{n}\cos(kx) = \Re{\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}} = \Re(e^{ix}\cdot\frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}) = \Re(\frac{e^{inx}-1}{1-e^{-ix}}) = \Re(\frac{(e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}})e^{\frac{ix}{2}}e^{\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}}) = \Re(\frac{2i\sin\frac{nx}{2}}{2i\sin\frac{x}{2}}e^{\frac{ix(n+1)}{2}}) = \frac{\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cos\frac{(n+1)x}{2}$

最后的三角变换楼主都会吧。

（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）

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3楼2017-06-19 13:34:00

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bwcq

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3楼: Originally posted by alober at 2017-06-19 13:34:00
\sum_{k=1}^{n}\cos(kx) = \Re{\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}} = \Re(e^{ix}\cdot\frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}) = \Re(\frac{e^{inx}-1}{1-e^{-ix}}) = \Re(\frac{(e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}})e^{\frac{ix}{2}}e ...

多谢！受教了！

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4楼2017-06-19 16:50:52

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hylpy

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2楼: Originally posted by songbai_hnu at 2017-06-19 13:16:52
把和式写开，然后乘以sin(x/2), 利用三角函数的积化和差公式，再除以sin(x/2)

不妨把式子写出来试试?

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凡事，一笑而过。。。。。。

5楼2017-06-19 16:53:43

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hylpy

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不用复数法证明也可以。

      代数式分子分母同时乘以 $2\sin \frac{x}{2}$ ,

并利用 $2\sin \frac{x}{2}\cos {kx}=\sin (kx+\frac{x}{2})-\sin (kx-\frac{x}{2})$ .有:

$\sum_{k=1}^{n}\cos {kx}=\frac{\sum_{k=1}^{n}2\cos {kx}\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}\left(\sin (kx+\frac{x}{2})-\sin (kx-\frac{x}{2})\right )}{\sin \frac{x}{2}}$


         $=\frac{\sin \frac{2n+1}{2}x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$

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凡事，一笑而过。。。。。。

6楼2017-06-20 09:12:08

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