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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 高代难题，很难
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)

[求助] 高代难题，很难 已有2人参与

各路大神帮帮忙呗

高代难题，很难


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1楼 2017-04-12 13:35:43
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fungarwai

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖



是正交矩阵
正交矩阵的特征值只有1,-1
若有特征值-1，
若特征值全为1，
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m_m_ing
6楼2017-04-15 18:13:22
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yfg0525

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

大致思路：
1. 问题等价于证明 |E+C|<=2^n, for any C 为正交矩阵；
2.注意到|E+C^T|=|E+C|,于是|E+C|=|(E+C^T)(E+C)|^1/2=|2E+C+C^T|^1/2;
3.利用性质 A正定等价于A可以写成 B*B^T的性质，我们知道(E+C^T)(E+C) 是正定的；P232
4.利用性质 若A=（a_{ij}）是正定矩阵，则 |A|<=a_{11}a_{22}...a_{nn};                         P236
5.注意到对正定矩阵C而言，| c_{ii}|<=1,于是（2E+C+C^T）=（d_{ij}）有  |d_{ii}|<=4;

两个性质见 高等教育出版社 《高等代数（第三版）》 王萼芳 石生明
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m_m_ing
12楼2017-04-19 21:03:51
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
11楼: Originally posted by fungarwai at 2017-04-18 19:25:53
det(A+B)=det(A)det(E+A^T B),det(A)=\pm 1

正交矩阵的特征值模等于1
A^T B是正交矩阵，可对角化,设A^T B=PDP^{-1},D=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
det(E+A^T B)=det(P^{-1})det(E+D)det(P)=det(E ...

根据你的方法我已经总结出正确答案了，你的方法是可行的，但有点不严谨，即正交矩阵不一定都可以对角化，但一定存在可逆矩阵P，使其转化成Jordan标准型，这样一来就严谨了。非常感谢你的解答

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20楼2017-04-22 09:56:46
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Atwoodzin

新虫 (初入文坛)
用数学归纳法试试～～

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2楼2017-04-12 14:18:19
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Atwoodzin at 2017-04-12 14:18:19
用数学归纳法试试～～

试了一下，我没做出来，还是有不太确定的地方，不过感觉数学归纳法可以，大神能否亲手做一下啊？跪谢

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3楼2017-04-12 23:07:25
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Atwoodzin

新虫 (初入文坛)
高代难题，很难-1

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4楼2017-04-14 09:15:50
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雨柏


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5楼2017-04-14 09:27:59
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
6楼: Originally posted by fungarwai at 2017-04-15 18:13:22
det(A^T)det(A+B)=det(E+A^T B)
det(A^T)=\pm 1
(A^T B)^T(A^T B)=E,A^T B是正交矩阵
正交矩阵的特征值只有1,-1
若A^T B有特征值-1，det(-E-A^T B)=0,det(E+A^T B)=0
若A^T B特征值全为1，A^T B=E,det(E+A^T B ...

非常感谢

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7楼2017-04-17 18:27:11
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Atwoodzin at 2017-04-14 09:15:50

请看6楼的回答

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8楼2017-04-17 18:28:05
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by fungarwai at 2017-04-15 18:13:22
det(A^T)det(A+B)=det(E+A^T B)
det(A^T)=\pm 1
(A^T B)^T(A^T B)=E,A^T B是正交矩阵
正交矩阵的特征值只有1,-1
若A^T B有特征值-1，det(-E-A^T B)=0,det(E+A^T B)=0
若A^T B特征值全为1，A^T B=E,det(E+A^T B ...

特征值全为1的正交矩阵一定等于单位矩阵吗

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9楼2017-04-17 18:33:32
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fungarwai

新虫 (小有名气)
呃，对不起
“正交矩阵的特征值只有1,-1”是错的，所以6#结论都错了
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10楼2017-04-18 07:45:01
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