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fungarwai

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖



正交矩阵的特征值模等于1
是正交矩阵，可对角化,设
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m_m_ing m_m_ing
11楼2017-04-18 19:25:53
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yfg0525

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

大致思路：
1. 问题等价于证明 |E+C|<=2^n, for any C 为正交矩阵；
2.注意到|E+C^T|=|E+C|,于是|E+C|=|(E+C^T)(E+C)|^1/2=|2E+C+C^T|^1/2;
3.利用性质 A正定等价于A可以写成 B*B^T的性质，我们知道(E+C^T)(E+C) 是正定的；P232
4.利用性质 若A=（a_{ij}）是正定矩阵，则 |A|<=a_{11}a_{22}...a_{nn};                         P236
5.注意到对正定矩阵C而言，| c_{ii}|<=1,于是（2E+C+C^T）=（d_{ij}）有  |d_{ii}|<=4;

两个性质见 高等教育出版社 《高等代数（第三版）》 王萼芳 石生明
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m_m_ing
12楼2017-04-19 21:03:51
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天上行杯

银虫 (小有名气)
det(A+B)=det(E+A^TB)。記C=A^TB，則C為正交陣，記C的特徵值為X1，X2，……Xn，於是C+E的特徵值為1+X1，1+X2，……，1+Xn，那麽丨det(C+E)丨=丨(1+X1)(1+X2)……(1+Xn)丨，此記為式①。又由±1=detC=X1X2……Xn，於是對式①採用逐步調整法得最大值為2^n

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13楼2017-04-19 22:03:53
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天上行杯

银虫 (小有名气)
對了，X1+X2+……Xn=C的對角線元素之和≤1

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14楼2017-04-19 22:31:30
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天上行杯

银虫 (小有名气)
樓主，我只學了皮毛，只能用較初等的方法，對於X1+……+Xn等於對角線元素和，在寫解答時忘了寫，於今補上，使之嚴謹，多有疏漏，還請見�?。

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15楼2017-04-19 22:35:46
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天上行杯

银虫 (小有名气)
不好意思，打错了，"特征值"改为"特征根"，也改动"X1+……+Xn=C对角线元素和≤1"为"…………≤n"

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m_m_ing m_m_ing
16楼2017-04-20 07:41:26
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
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引用回帖:
16楼: Originally posted by 天上行杯 at 2017-04-20 07:41:26
不好意思，打错了，"特征值"改为"特征根"，也改动"X1+……+Xn=C对角线元素和≤1"为"…………≤n"

非常非常感谢

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17楼2017-04-22 09:46:28
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
12楼: Originally posted by yfg0525 at 2017-04-19 21:03:51
大致思路：
1. 问题等价于证明 |E+C|<=2^n, for any C 为正交矩阵；
2.注意到|E+C^T|=|E+C|,于是|E+C|=|(E+C^T)(E+C)|^1/2=|2E+C+C^T|^1/2;
3.利用性质 A正定等价于A可以写成 B*B^T的性质，我们知道(E+C^T)(E ...

你好，A只说是正交矩阵，不一定正定哦

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18楼2017-04-22 09:52:30
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
11楼: Originally posted by fungarwai at 2017-04-18 19:25:53
det(A+B)=det(A)det(E+A^T B),det(A)=\pm 1

正交矩阵的特征值模等于1
A^T B是正交矩阵，可对角化,设A^T B=PDP^{-1},D=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
det(E+A^T B)=det(P^{-1})det(E+D)det(P)=det(E ...

正交矩阵一定可以对角化吗

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19楼2017-04-22 09:52:53
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m_m_ing

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
11楼: Originally posted by fungarwai at 2017-04-18 19:25:53
det(A+B)=det(A)det(E+A^T B),det(A)=\pm 1

正交矩阵的特征值模等于1
A^T B是正交矩阵，可对角化,设A^T B=PDP^{-1},D=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
det(E+A^T B)=det(P^{-1})det(E+D)det(P)=det(E ...

根据你的方法我已经总结出正确答案了，你的方法是可行的，但有点不严谨，即正交矩阵不一定都可以对角化，但一定存在可逆矩阵P，使其转化成Jordan标准型，这样一来就严谨了。非常感谢你的解答

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20楼2017-04-22 09:56:46
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