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海心焰

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[求助] 积分方程组数值求解已有2人参与

参数 z 的取值位于 -4 到 0 之间，对于给定的 z，如 $z=-0.1$ ，求出 $r_1$ ， $r_2$ ，以及 $f_0$ 的值，满足以下方程组：

$f(r_1)=f(r_2)=f_0$
$\pi f_0(r_2^2-r_1^2)=\int_{r_1}^{r_2}2\pi r f(r)\text{d}r$ ,

其中 $f(r)=\frac{[1-8r^2+r^4(4z-2)]^2}{32\pi r^5(r^2+2)(2z-1)^2}$ .

求助于各位mathematics大神，帮忙解答一下，不胜感激！！

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

$r_1=r_2，f_0=0$ 看上去是非常好的解。

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2楼2016-11-11 16:28:38

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2楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-11-11 16:28:38
r_1=r_2，f_0=0 看上去是非常好的解。

尝试求出 $f_0=0$ 情况下的所有解：

$\begin{array}{rl}1)r_1=r_2=&-\sqrt{\dfrac{1}{6}\left(-10+\sqrt{115}\right)}\\2)r_1=r_2=&\sqrt{\dfrac{1}{6}\left(-10+\sqrt{115}\right)}\\3)r_1=r_2=&-i\sqrt{\dfrac{1}{6}\left(-10+\sqrt{115}\right)}\\4)r_1=r_2=&i\sqrt{\dfrac{1}{6}\left(-10+\sqrt{115}\right)}\\\end{array}$

$f_0\ne 0$ 的情形似乎很难碰到精确解

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3楼2016-11-11 16:34:39

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3楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-11-11 16:34:39
尝试求出 f_0=0情况下的所有解：

\begin{array}{rl}1)r_1=r_2=&-\sqrt{\dfrac{1}{6}\left(-10+\sqrt{115}\right)}\\2)r_1=r_2=&\sqrt{\dfrac{1}{6}\left(-10+\sqrt{115}\right)}\\3)r_1=r_2=&-i\sq ...

不要求精确解，要数值解就行

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4楼2016-11-11 16:49:32

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不要求精确解，要数值解就行

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5楼2016-11-11 16:49:43

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补充一下，只要数值求解就可以了，主要是要具体求解的过程，这样我就可以修改z的值，继续求解了

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6楼2016-11-11 16:50:51

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5楼: Originally posted by 海心焰 at 2016-11-11 16:49:43
不要求精确解，要数值解就行...

你这到底是什么物理背景的？

如果 r1=r2 可以，则 f0的值可以任取，

每个f0的值都对应于新的 r1, r2

满足条件的解有无穷多个。从实际上看，没有任何意义。

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7楼2016-11-11 17:09:09

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7楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-11-11 17:09:09
你这到底是什么物理背景的？

如果 r1=r2 可以，则 f0的值可以任取，

每个f0的值都对应于新的 r1, r2

满足条件的解有无穷多个。从实际上看，没有任何意义。...

物理上的话，是一个Maxwell等面积率，即就是在 $f(r)$ 的图像上，找出一条等高线 $f(r)=f_0$ ，使得该线与曲线围成部分的面积相等。如若 $r_1=r_2$ ，则上述方程中的第二个便失去意义了，所以不能相等。

我想求解的是，给一个 $z$ 的值，求那个方程组（实际上是三个方程，三个未知数）

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8楼2016-11-11 17:19:17

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8楼: Originally posted by 海心焰 at 2016-11-11 17:19:17
物理上的话，是一个Maxwell等面积率，即就是在f(r)的图像上，找出一条等高线f(r)=f_0，使得该线与曲线围成部分的面积相等。如若r_1=r_2，则上述方程中的第二个便失去意义了，所以不能相等。

我想求解的是，给一 ...

即使求数值解，我也还没有找到 r1和 r2不相等的结果。但是相等的话就可能有解析解

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9楼2016-11-11 17:27:34

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【答案】应助回帖

从求解的角度看，因为 r1=r2 的解实在太多

数值迭代的方法大部分极其容易收敛到就近的其中一个

所以，限定 r1 =\= r2 再求解的算法不知道有没有，这才是关键。

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10楼2016-11-11 17:30:57

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