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[求助] 关于导数的问题已有2人参与

有实数集上的函数f(x)，
满足f(0)=0,f(x)在x=0处连续，
lim(x→0)((f(2x)-f(x))/x)=1。
则是否有f'(0)=1？如何证明？

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1楼 2016-07-21 21:53:34

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hank612

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题目中f(0)=0的条件貌似是多余的.

实际上, 令 g(x)=f(x)-x-f(0)为连续函数, 满足 g(0)=0 且
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(2x)-g(x)}{x}=0$ .

换成 $\epsilon-\delta$ 语言, 就是对于任意 $\epsilon>0$ , 存在 $\delta=\delta(\epsilon)>0$ 使得对于所有满足 $|x|<\delta$ 的x, 都有 $|g(2x)-g(x)|<\epsilon |x|$ .

于是, 由于 $|g(2x)-g(\frac{x}{2^n})|\leq \sum_{k=0}^{n} |g(\frac{x}{2^{k-1}})-g(\frac{x}{2^k})|$ , 让n趋于无穷,加上g(x)的连续性, 得到 $|g(2x)|\leq \epsilon |2x|$ .

重新换回导数的语言, 就是 $g^{\prime}(0)=0$ , 回到f(x) 就是 $f^{\prime}(0)=1$ .

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-07-22 02:02:28

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peterflyer

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peterflyer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

个人认为在x=0处f(x)不一定有一阶导数存在。比如f(x)由y^2=x^2所定义的话。

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3楼2016-07-22 09:30:41

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洪武ea

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-22 02:02:28
题目中f(0)=0的条件貌似是多余的.

实际上, 令 g(x)=f(x)-x-f(0)为连续函数, 满足 g(0)=0 且
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(2x)-g(x)}{x}=0.

换成\epsilon-\delta语言, 就是对于任意\epsilon>0, 存在\d ...

谢谢！我觉得是这样。

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4楼2016-07-22 10:22:15

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3楼: Originally posted by peterflyer at 2016-07-22 09:30:41
个人认为在x=0处f(x)不一定有一阶导数存在。比如f(x)由y^2=x^2所定义的话。

我觉得还是存在的，f(x)是R上对x的映射f，应当只有一个元与之对应，不能是y?=x?

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5楼2016-07-22 10:23:53

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i维数

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

是徐森林上的一道题。

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6楼2016-07-22 13:11:38

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Edstrayer

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只需要证明 $f'(0)$ 的存在性，因为：
$1=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{f(2x)-f(0)}{x}-\frac{f(x)-f(0)}{x}\right)=2f'(0)-f'(0)=f'(0)$

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7楼2016-07-22 22:28:07

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