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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于导数的问题
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洪武ea

新虫 (小有名气)

[求助] 关于导数的问题 已有2人参与

有实数集上的函数f(x)，
满足f(0)=0,f(x)在x=0处连续，
lim(x→0)((f(2x)-f(x))/x)=1。
则是否有f'(0)=1？如何证明？

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1楼 2016-07-21 21:53:34
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
题目中f(0)=0的条件貌似是多余的.

实际上, 令 g(x)=f(x)-x-f(0)为连续函数, 满足 g(0)=0 且
.

换成语言, 就是对于任意, 存在使得对于所有满足的x, 都 有.

于是, 由于 , 让n趋于无穷,加上g(x)的连续性, 得到.

重新换回导数的语言, 就是 , 回到f(x) 就是.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2016-07-22 02:02:28
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
个人认为在x=0处f(x)不一定有一阶导数存在。比如f(x)由y^2=x^2所定义的话。
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3楼2016-07-22 09:30:41
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洪武ea

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-22 02:02:28
题目中f(0)=0的条件貌似是多余的.

实际上, 令 g(x)=f(x)-x-f(0)为连续函数, 满足 g(0)=0 且
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{g(2x)-g(x)}{x}=0.

换成\epsilon-\delta语言, 就是对于任意\epsilon>0, 存在\d ...

谢谢！我觉得是这样。

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4楼2016-07-22 10:22:15
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洪武ea

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2016-07-22 09:30:41
个人认为在x=0处f(x)不一定有一阶导数存在。比如f(x)由y^2=x^2所定义的话。

我觉得还是存在的，f(x)是R上对x的映射f，应当只有一个元与之对应，不能是y?=x?

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5楼2016-07-22 10:23:53
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i维数

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
是徐森林上的一道题。
关于导数的问题
1.png


关于导数的问题-1
2.png
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6楼2016-07-22 13:11:38
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
只需要证明的存在性，因为：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2016-07-22 22:28:07
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