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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 六边形为地面的半圆面积如何计算？
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i小木虫

木虫 (正式写手)

[交流] 六边形为地面的半圆面积如何计算？

如题，大家讨论下啊，
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1楼 2015-11-21 08:48:10
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dmbb
★
i小木虫(金币+1): 谢谢参与
2楼2015-11-21 08:57:38
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核桃芝麻
★
i小木虫(金币+1): 谢谢参与
3楼2015-11-21 08:59:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
表达混乱！
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4楼2015-11-21 09:08:27
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0404600213

金虫 (正式写手)
★
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引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-21 09:08:27
表达混乱！

我估计他的意思是一个截面是六边形的柱面去截一个上半球
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5楼2015-11-21 12:02:00
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雨夜vs星辰

金虫 (著名写手)

破小子
★
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5楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-21 12:02:00
我估计他的意思是一个截面是六边形的柱面去截一个上半球...

我奇怪楼主的问题过来了→_→

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开心过好每一天！^_^
6楼2015-11-21 12:15:21
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-21 12:02:00
我估计他的意思是一个截面是六边形的柱面去截一个上半球...

那就可以表述如下了：求用边长为a的正六边形与半径为R的球面交截部分的表面面积。其中，a<R。
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7楼2015-11-21 12:45:57
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i小木虫

木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-21 12:45:57
那就可以表述如下了：求用边长为a的正六边形与半径为R的球面交截部分的表面面积。其中，a<R。...

我意思是，如果底面是一个正六边形边长a，中心点正上方距离a处有一个点，以这个点连接这个六边形所有点所形成的面积最小时候应该是一个3维曲面，这个面积会是多少，有计算思路么？
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8楼2015-11-21 20:27:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
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引用回帖:
8楼: Originally posted by i小木虫 at 2015-11-21 20:27:16
我意思是，如果底面是一个正六边形边长a，中心点正上方距离a处有一个点，以这个点连接这个六边形所有点所形成的面积最小时候应该是一个3维曲面，这个面积会是多少，有计算思路么？...

那么这就应该是二维泛函的变分问题了。由于对称性，可只讨论正六边形圆心角为pai/6的半个边长与顶点所组成曲面的面积。
I=12*Double Integral{Sqrt[1+(Pf/Px)^2+(Pf/Py)^2]*dx*dy , (x,y)属于D}
D为积分区域，它是一个直角三角形，其斜边为正六边形中心与顶点的连线；30度的对边为六边形边长的一半，60度的对边为中心与边长中点的连线(也是垂线)。
现在的问题就归结于求泛函I的极小值了。
通过泛函I的欧拉方程，得到一个偏微分方程。求解它即可得到所求问题的解---具有最小面积的曲面方程。
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9楼2015-11-21 21:06:48
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uvwxmc

金虫 (正式写手)
★
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引用回帖:
8楼: Originally posted by i小木虫 at 2015-11-21 20:27:16
我意思是，如果底面是一个正六边形边长a，中心点正上方距离a处有一个点，以这个点连接这个六边形所有点所形成的面积最小时候应该是一个3维曲面，这个面积会是多少，有计算思路么？...

不就是六棱锥的侧面吗？还能怎么小？！你要硬棱有意见，认为这不是‘曲’面的话，把棱替换成无穷小弧面，结论不变。
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10楼2015-11-25 02:19:58
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