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i小木虫

木虫 (正式写手)

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[交流] 六边形为地面的半圆面积如何计算？

如题，大家讨论下啊，

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1楼 2015-11-21 08:48:10

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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引用回帖:

8楼: Originally posted by i小木虫 at 2015-11-21 20:27:16
我意思是，如果底面是一个正六边形边长a，中心点正上方距离a处有一个点，以这个点连接这个六边形所有点所形成的面积最小时候应该是一个3维曲面，这个面积会是多少，有计算思路么？...

那么这就应该是二维泛函的变分问题了。由于对称性，可只讨论正六边形圆心角为pai/6的半个边长与顶点所组成曲面的面积。
I=12*Double Integral{Sqrt[1+(Pf/Px)^2+(Pf/Py)^2]*dx*dy , (x,y)属于D}
D为积分区域，它是一个直角三角形，其斜边为正六边形中心与顶点的连线；30度的对边为六边形边长的一半，60度的对边为中心与边长中点的连线(也是垂线)。
现在的问题就归结于求泛函I的极小值了。
通过泛函I的欧拉方程，得到一个偏微分方程。求解它即可得到所求问题的解---具有最小面积的曲面方程。