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霞栖影

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
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在线: 18小时
虫号: 2094126
注册: 2012-10-29
专业: 应用数学方法

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1楼2015-11-01 14:07:11

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shabaolin

铜虫 (著名写手)

应助: 4 (幼儿园)
金币: 8603.4
红花: 6
帖子: 1207
在线: 145.2小时
虫号: 868907
注册: 2009-10-12
专业: 高分子物理与高分子物理化

引用回帖:

11楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-02 05:39:38
数学老学徒 shabaolin 霞栖影
这个解法是错误的，原因有二：
（1）等价无穷小不适合用于带加减的表达式中，按 wurongjun 专家的结论，可以用于乘法因子的替换

(2), 如果解法中的成立，那么可否推出 (1 ...

我是搞工程的，等价无穷小的替换确实有好多讲究，我没有研究过，这些知识只是为了对付考研积累的，也没看过类似的专著

发自小木虫Android客户端

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12楼2015-11-02 06:33:24

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

求极限： $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-01 15:18:47

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0404600213

金虫 (正式写手)

应助: 56 (初中生)
金币: 725.5
散金: 2157
红花: 23
帖子: 992
在线: 295.6小时
虫号: 2224916
注册: 2013-01-06
性别: GG
专业: 数论

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

不是用洛必达法则法则？

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3楼2015-11-01 15:24:49

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
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注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-01 15:18:47
求极限：\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?

注意到 $(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=-\int_{x}^{2x}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}}{1+t}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2} dt$

以及当 t-->0时， $(1+t)^{\frac{1}{t}}->e$ 并且 $\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}\to\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}\to\frac{-\frac{1}{1+t}}{2}$

知道原式 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/x}-(1+2x)^{1/(2x)}}{\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\int_{x}^{2x}\frac{-e}{2}dt}{\sin{x}}=\frac{e}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-11-01 15:52:11

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