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霞栖影

新虫 (小有名气)

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[求助] 求助一道求极限题已有4人参与

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1楼2015-11-01 14:07:11

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

7楼: Originally posted by 数学老学徒 at 2015-11-01 22:31:05
。

@数学老学徒 @shabaolin @霞栖影
这个解法是错误的，原因有二：
（1）等价无穷小不适合用于带加减的表达式中，按 wurongjun 专家的结论，可以用于乘法因子的替换

(2), 如果解法中的成立，那么可否推出 $(1+x)^{\frac{1}{x}}\sim (1+x\cdot \frac{1}{x})$

所以我觉得，能够得到同样的答案是纯属巧合，证明过程可以写的更加严谨的

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We_must_know. We_will_know.

11楼2015-11-02 05:39:38

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Edstrayer

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求极限： $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-01 15:18:47

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0404600213

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

不是用洛必达法则法则？

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3楼2015-11-01 15:24:49

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hank612

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-01 15:18:47
求极限：\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}=?

注意到 $(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=-\int_{x}^{2x}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}}{1+t}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2} dt$

以及当 t-->0时， $(1+t)^{\frac{1}{t}}->e$ 并且 $\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}\to\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}\to\frac{-\frac{1}{1+t}}{2}$

知道原式 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/x}-(1+2x)^{1/(2x)}}{\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\int_{x}^{2x}\frac{-e}{2}dt}{\sin{x}}=\frac{e}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-11-01 15:52:11

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