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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 复数集是否是唯一的代数自洽集
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 复数集是否是唯一的代数自洽集

设

称

为代数自洽集，如果任给多项式方程

在

中都至少存在一个解。
请问：复数集是否是唯一的代数自洽集？即是否存在复数集的真子集是代数自洽集？
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-09-26 09:03:13
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tigou

木虫 (正式写手)
显然，

也是代数自洽集。现在补充提问，除此之外，是否还有其他的代数自洽集？

这个问题关系到，复数集是否是有理数集对于一级运算的最小扩张？
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0/0的意义是所有数的集合
2楼2015-09-26 10:27:00
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by tigou at 2015-09-26 10:27:00
显然，
\mathbb{D}=\mathbb{C}-{0}
也是代数自洽集。现在补充提问，除此之外，是否还有其他的代数自洽集？

这个问题关系到，复数集是否是有理数集对于一级运算的最小扩张？

更正：
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0/0的意义是所有数的集合
3楼2015-09-26 10:28:18
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★
tigou(feixiaolin代发): 金币+2 2015-09-27 14:03:26
请楼主证明以下命题：
存在复数域C 中的可数子集D，使得任给多项式, 都有: f(x)的所有根都属于D。

由该命题以及C 有不可数个数，知道你的猜想不成立。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-09-26 11:44:52
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tigou

木虫 (正式写手)
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4楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-26 11:44:52
请楼主证明以下命题：
存在复数域C 中的可数子集D，使得任给多项式f(x)\in D , 都有: f(x)的所有根都属于D。

由该命题以及C 有不可数个数，知道你的猜想不成立。

谢谢，哪些文献中可以找到你说命题的严格证明？

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0/0的意义是所有数的集合
5楼2015-09-26 12:02:00
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by tigou at 2015-09-26 12:02:00
谢谢，哪些文献中可以找到你说命题的严格证明？
...

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E6%95%B8

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number

铺天盖地， 大学本科内容
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6楼2015-09-27 03:41:39
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tigou

木虫 (正式写手)
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6楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-27 03:41:39
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E6%95%B8

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number

铺天盖地， 大学本科内容...

代数数集是代数自洽集么？注意，代数自洽集定义中多项式的系数是该集中的任意数，而代数数定义中多项式的系数为有理数。

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0/0的意义是所有数的集合
7楼2015-09-27 08:57:47
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
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7楼: Originally posted by tigou at 2015-09-27 08:57:47
代数数集是代数自洽集么？注意，代数自洽集定义中多项式的系数是该集中的任意数，而代数数定义中多项式的系数为有理数。
...

楼主研究的非常深，这点不同都被揪出了。其实，楼主可以证明一个命题：

设c0,c1,...,cn是数域K上代数数，则c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n 的根也是K上代数数。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2015-09-27 10:41:46
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-27 10:41:46
楼主研究的非常深，这点不同都被揪出了。其实，楼主可以证明一个命题：

设c0,c1,...,cn是数域K上代数数，则c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n 的根也是K上代数数。...

谢谢，数学研究如果丧失了严格性，就会丧失所有独特价值。我就是证明不了你这个问题，才来提问的，所以您最好提供足够详细的证明思路或可查阅的文献，谢谢。

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0/0的意义是所有数的集合
9楼2015-09-27 11:00:54
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-27 10:41:46
楼主研究的非常深，这点不同都被揪出了。其实，楼主可以证明一个命题：

设c0,c1,...,cn是数域K上代数数，则c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n 的根也是K上代数数。...

这个命题是错误的。有理数域就是现成的反例，以有理数为系数的多项式的根并非全部在有理数集中。

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0/0的意义是所有数的集合
10楼2015-09-27 12:04:25
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