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tigou

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[求助] 复数集是否是唯一的代数自洽集

设
$\mathbb{D}\subseteq\mathbb{C}.$
称
$\mathbb{D}$
为代数自洽集，如果任给多项式方程
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0(n\in\mathbb{N}_{[1},a_n\neq 0,a_i\in\mathbb{D},i\in\mathbb{N}^{n]})$
在
$\mathbb{D}$
中都至少存在一个解。
请问：复数集是否是唯一的代数自洽集？即是否存在复数集的真子集是代数自洽集？

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-09-26 09:03:13

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显然，
$\mathbb{D}=\mathbb{C}-{0}$
也是代数自洽集。现在补充提问，除此之外，是否还有其他的代数自洽集？

这个问题关系到，复数集是否是有理数集对于一级运算的最小扩张？

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2楼2015-09-26 10:27:00

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2楼: Originally posted by tigou at 2015-09-26 10:27:00
显然，
\mathbb{D}=\mathbb{C}-{0}
也是代数自洽集。现在补充提问，除此之外，是否还有其他的代数自洽集？

这个问题关系到，复数集是否是有理数集对于一级运算的最小扩张？

更正：
$\mathbb{D}=\mathbb{C}-\{0\}$

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3楼2015-09-26 10:28:18

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★ ★
tigou(feixiaolin代发): 金币+2 2015-09-27 14:03:26

请楼主证明以下命题：
存在复数域C 中的可数子集D，使得任给多项式 $f(x)\in D[x]$ , 都有: f(x)的所有根都属于D。

由该命题以及C 有不可数个数，知道你的猜想不成立。

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4楼2015-09-26 11:44:52

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4楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-26 11:44:52
请楼主证明以下命题：
存在复数域C 中的可数子集D，使得任给多项式f(x)\in D , 都有: f(x)的所有根都属于D。

由该命题以及C 有不可数个数，知道你的猜想不成立。

谢谢，哪些文献中可以找到你说命题的严格证明？

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5楼2015-09-26 12:02:00

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5楼: Originally posted by tigou at 2015-09-26 12:02:00
谢谢，哪些文献中可以找到你说命题的严格证明？
...

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E6%95%B8

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number

铺天盖地，大学本科内容

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6楼2015-09-27 03:41:39

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6楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-27 03:41:39
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E6%95%B8

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number

铺天盖地，大学本科内容...

代数数集是代数自洽集么？注意，代数自洽集定义中多项式的系数是该集中的任意数，而代数数定义中多项式的系数为有理数。

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7楼2015-09-27 08:57:47

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7楼: Originally posted by tigou at 2015-09-27 08:57:47
代数数集是代数自洽集么？注意，代数自洽集定义中多项式的系数是该集中的任意数，而代数数定义中多项式的系数为有理数。
...

楼主研究的非常深，这点不同都被揪出了。其实，楼主可以证明一个命题：

设c0,c1,...,cn是数域K上代数数，则c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n 的根也是K上代数数。

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8楼2015-09-27 10:41:46

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8楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-27 10:41:46
楼主研究的非常深，这点不同都被揪出了。其实，楼主可以证明一个命题：

设c0,c1,...,cn是数域K上代数数，则c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n 的根也是K上代数数。...

谢谢，数学研究如果丧失了严格性，就会丧失所有独特价值。我就是证明不了你这个问题，才来提问的，所以您最好提供足够详细的证明思路或可查阅的文献，谢谢。

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9楼2015-09-27 11:00:54

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这个命题是错误的。有理数域就是现成的反例，以有理数为系数的多项式的根并非全部在有理数集中。

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10楼2015-09-27 12:04:25

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