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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 复数集是否是唯一的代数自洽集
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 复数集是否是唯一的代数自洽集

设

称

为代数自洽集，如果任给多项式方程

在

中都至少存在一个解。
请问：复数集是否是唯一的代数自洽集？即是否存在复数集的真子集是代数自洽集？
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-09-26 09:03:13
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by tigou at 2015-09-27 08:57:47
代数数集是代数自洽集么？注意，代数自洽集定义中多项式的系数是该集中的任意数，而代数数定义中多项式的系数为有理数。
...

楼主研究的非常深，这点不同都被揪出了。其实，楼主可以证明一个命题：

设c0,c1,...,cn是数域K上代数数，则c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n 的根也是K上代数数。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2015-09-27 10:41:46
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tigou

木虫 (正式写手)
显然，

也是代数自洽集。现在补充提问，除此之外，是否还有其他的代数自洽集？

这个问题关系到，复数集是否是有理数集对于一级运算的最小扩张？
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0/0的意义是所有数的集合
2楼2015-09-26 10:27:00
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by tigou at 2015-09-26 10:27:00
显然，
\mathbb{D}=\mathbb{C}-{0}
也是代数自洽集。现在补充提问，除此之外，是否还有其他的代数自洽集？

这个问题关系到，复数集是否是有理数集对于一级运算的最小扩张？

更正：
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0/0的意义是所有数的集合
3楼2015-09-26 10:28:18
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★
tigou(feixiaolin代发): 金币+2 2015-09-27 14:03:26
请楼主证明以下命题：
存在复数域C 中的可数子集D，使得任给多项式, 都有: f(x)的所有根都属于D。

由该命题以及C 有不可数个数，知道你的猜想不成立。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-09-26 11:44:52
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